3.7.Взаимное положение двух плоскостей в пространстве

3.7.1. Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Например, на рис. 11 плоскость треугольника АВС параллельна плоскости, заданной пересекающимися прямыми, так, как АС параллельна KE , а прямая АВ параллельна прямой FE .

3.7.2. Две плоскости в пространстве могут пересекаться по прямой линии

Пример.

Дано: плоскость общего положения, заданная треугольником АВС; горизонтально проецирующая плоскость, заданная треугольником EFK. (рис. 11)

Рис. 10 Рис.11

Все точки принадлежащие треугольнику EFK, лежат на отрезке efk- его горизонтальной проекции.

Линия пересечения двух плоскостей определяется точками 1 и 2 , которые принадлежат прямым АВ и АС. Таким образом, прямая 12 принадлежит плоскости треугольника АВС и треугольника EFK и поэтому является их линией пересечения.

Видимость плоскостей на горизонтальной проекции очевидна, на фронтальной проекции часть треугольника а '1 '2 ' видна, а часть 1 'в 'с '2 ' не видна.

3.8.Точка и плоскость

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, находящейся в этой плоскости. Таким образом, чтобы построить недостающую проекцию точки, принадлежащей заданной плоскости, необходимо через неё провести вспомогательную прямую, расположенную в этой плоскости.

Пример.

Плоскость задана параллелограммом АBCD, координаты X,Y,Z точек A,B,C известны, у точки D неизвестны. При построении параллелограмма недостающая точка D строится согласно признаку параллельности прямых.

Через точки А и С проводим прямые АD и CD, параллельные отрезкам ВС и ВА, и на пересечении этих прямых находим недостающие проекции точки D.(рис. 12).

Рис. 12

Плоскость задана четырехугольником АBCD, который определяют три точки А; В; С, координаты X,Y,Z которых известны, и точкой D, у которой неизвестна координата Y.

Горизонтальная проекция точки D строится при помощи точки пересечения диагоналей четырехугольника, фронтальная проекция которой определяется пересечением фронтальных проекций отрезков a^/ c^/ и b^/ d ^/– точкой e^/.

Находим горизонтальную проекцию точки e при помощи вертикальной линии связи, проведенной из фронтальной проекции точки e^/ , на горизонтальной проекции прямой ac. Строим горизонтальную проекцию прямой be и переносим на неё линией связи горизонтальную проекцию точки d.

3.9.Теорема о проекции прямого угла

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость в истинную величину.

Следствие:

Если одна сторона прямого угла – горизонталь, то на горизонтальную проекцию он проецируется в истинную величину.

Если одна сторона прямого угла - фронталь, то на фронтальную проекцию он проецируется в истинную величину.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то на фронтальной проекции она образует прямой угол с фронтальной проекцией фронтали, принадлежащей этой плоскости, а на горизонтальной проекции - прямой угол с горизонтальной проекцией горизонтали этой плоскости.

Например, на рис. 13 к треугольнику АВС построен перпендикуляр из точки К, горизонтальная проекция его - отрезок ke, перпендикулярный отрезку c1, который является горизонтальной проекцией горизонтали треугольника АВС.

Фронтальная проекция отрезка k'e^/ перпендикулярна отрезку c'2', который является фронтальной проекцией фронтали, принадлежащей треугольнику АВС.

Т очка Е – точка пересечения перпендикуляра, проведенного из точки К с плоскостью треугольника АВС. Для нахождения этой точки строим дополнительную фронтально - проецирующую плоскость P, проходящую через перпендикуляр, и находим линию пересечения его с плоскостью АВС.

Рис. 13

3.10.Определение натуральной величины отрезка методом

прямоугольного треугольника

На горизонтальной плоскости проекции строим прямоугольный треугольник, одна сторона которого горизонтальная проекция отрезка АВ, а - другая разница в координатах Y точек А и В.(рис. 14)

Гипотенузой этого треугольника будет натуральная величина отрезка АВ.

Аналогично строим натуральную величину отрезка АВ на фронтальной проекции.

Р ис. 14