Вопрос 11. Замкнутые системы. Законы сохранения.

Система тел, на каждое из которых не действуют внешние силы, называется замкнутой (изолированной).

Свойство тела сохранять свою скорость в отсутствие взаимодействия с другими телами называется инертностью.

Физическая величина, являющаяся мерой инертности материальной точки, называется инертной массой.

Масса характеризует способность тела взаимодействовать с другими телами в согласии с законом всемирного тяготения, и ее называют гравитационной массой.

Инертная масса=Гравитационная масса

В механике Ньютона считается, что:

• Масса тела не зависит от скорости его движения

• Масса тела равна сумме масс всех частиц, из которых оно состоит (аддитивная величина)

• Для данной совокупности тел выполняется закон сохранения массы: при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, ее масса остается неизменной

Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел:

В инерциальной системе отсчета суммарный импульс замкнутой системы тел с течением времени не изменяется. Взаимодействие между телами замкнутой системы может приводить к изменению импульсов отдельных тел, к передаче импульса от одного тела к другому, но это не сказывается на изменении суммарного импульса всей системы. Поскольку импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс p=mv_C=const , то v_C=const, т.е. центр масс замкнутой системы тел в инерциальной системе отсчета движется прямолинейно и равномерно.

Законом сохранения импульса можно воспользоваться, описывая поведение незамкнутых систем тел в следующих частных случаях:

• Внешние силы, действующие на любое тело системы, уравновешиваются

• Проекция суммы всех внешних сил на какую-либо координатную ось равна нулю

Закон сохранения энергии:

Механическая энергия консервативной системы сохраняется постоянной в процессе движения системы: Еполн=Ек+Еп=const.

Система тел называется консервативной, если внешние и внутренние силы, действующие на тела системы, являются потенциальными (это силы, работа которых не зависит от формы траектории (например, сила тяжести)). В замкнутой консервативной системе между телами действуют только внутренние потенциальные силы.

12. Закон сохранения импульса

В инерциальной системе отсчета суммарный импульс замкнутой системы тел с течением времени не изменяется. Взаимодействие между телами замкнутой системы может приводить к изменению импульсов отдельных тел, к передаче импульса от одного тела к другому, но это не сказывается на изменении суммарного импульса всей системы. Поскольку импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс p=mv_C=const , то v_C=const, т.е. центр масс замкнутой системы тел в инерциальной системе отсчета движется прямолинейно и раномерно.

Законом сохранения импульса можно воспользоваться, описывая поведение незамкнутых систем тел в следующих частных случаях:

• Внешние силы, действующие на любое тело системы, уравновешиваются

• Проекция суммы всех внешних сил на какую-либо координатную ось равна нулю

13-14. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала. Их связь. Закон сохранения момента импульса.

При вращательном движении механической системы количество движения (импульс) не отражает изменений, происходящих в системе. Например, рассмотрим вращение абсолютно твердого тела около неподвижной оси, проходящей через центр масс этого твердого тела. Тогда на основании теоремы , тогда и . Таким образом, при любой скорости вращения твердого тела количество движения остается постоянным, следовательно, вектор количества движения не может быть характеристикой вращательного движения системы. Величина, которая отражает изменения в механической системе при ее вращательном движении, называется моментом импульса.

Пусть имеем силу, приложенную к точке А. Моментом силы , выбранным от произвольной точки О, называется векторное произведение радиуса-вектора , проведенного из точки О в начало . Этот момент, относительно точки О, равен

, где h – плечо вектора, т.е. кратчайшее расстояние между точкой О и линией, на которой лежит вектор .

Момент импульса L частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

, где — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, - импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

, где , — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется: геометрическая сумма моментов всех точек системы равна моменту количества движения механической системы.

Пусть имеется механическая система , состоящая из n материальных точек ( ). Возьмем произвольную точку О (вектор из точки О в точку m_i) и запишем уравнение движения для этой точки: .

Векторно умножим уравнение на :

_{Получим} , где _{- момент равнодействующей всех ВНУТРЕННИХ сил, а со штрихом – ВНЕШНИХ.}

_{Т.к. внутренние силы подчиняются 3-ему закону Ньютона, моменты этих сил относительно любой точки пространства, с которыми действуют две материальные точки друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому} .

Таким образом, связь между моментом импульса и моментом силы: .

Теорема: Производная по времени момента импульса системы относительно выбранной точки равна геометрической сумме моментов внешних сил относительно этой же точки.

Закон сохранения момента импульса.

Из этой теоремы вытекает закон сохранения момента импульса системы:

Пусть , тогда . Следовательно, =const.

Закон: Если геометрическая сумма моментов внешних сил относительно выбранной точки, действующих на систему, равна нулю, то импульс механической системы относительно этой точки остается постоянным.

Выводы:

1. Внутренние силы, действующие в системе, не могут изменить момента импульса системы относительно выбранной точки

2. В результате действия внутренних сил может произойти изменение момента силы части механической системы, но это должно обязательно вызвать равные по величине и противоположные по направлению изменения момента силы части оставшейся системы относительно той же точки.

3. Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения равен нулю, то момент импульса этой системы – величина постоянная.

Вопросы 15-17. Работа и кинетическая энергия. .. Закон сохранения и изменения механической энергии.

Понятие количества движения (импульс), которое было введено при изучении движения материальной точки и системы м.т., не охватывает всех случаев движения тел при их взаимодействии. Следовательно, должна существовать более общая мера количества движения, которая была бы справедлива для всех видов движения материи. Эта общая характеристика получила название энергия. Энергия – это универсальная количественная мера любых видов движения материи.

В механике энергия подразделяется на два вида: кинетическая и потенциальная. Под Е кинетич. Мы понимаем энергию движущегося тела. Она зависит от выбора системы отсчета. Е потенц. – это энергия взаимодействия тел или частей тела, зависящая от взаимного расположения взаимодействующих тел, зависит от выбора системы отсчета. В поле тяготения Земли Eпот.=mgh.

Энергия характеризует работоспособность тела. Взаимосвязь движения и материи нашло свое отражение в формуле Эйнштейна: , где с=3*10^8 м/с – скорость света.

Опыт показывает, что переход механического движения в другие формы движения происходит всегда в результате взаимодействия тел. Во всех таких процессах величина переданного движения пропорциональна скалярному произведению силы на величину перемещения. Таким образом, мерой передачи движения от одного тела к другому или мерой передачи энергии является работа.

Работа – это физическая величина, дающая оценку действия силы на тело на протяжении некоторого пройденного пути.

Работа в отличие от силы и перемещения не является векторной величиной и может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Знак работы определяется знаком косинуса.

Теорема об изменении кинетической энергии системы:

Пусть мы имеем систему, состоящую из n мат. Точек. В общем случае, на каждую точку системы действуют как внутренние, так и внешние силы. Согласно теореме об изменении кинетической энергии точки, кинетическая энергия любой точки системы за некоторый промежуток времени будет равна сумме работ, совершенных за это же время, как внешними, так и внутренними силами, действующими на эту точку системы.

; Изменение кинетической энергии системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ, овершаемых за это время внешними и внутренними силами, действующими на эту систему.

Консервативные и неконсервативные силы.

В физике консервати́вные си́лы (потенциальные силы) — силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил). Отсюда: консервативные силы — такие силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0.

Если в системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется.

Примерами консервативных сил являются: сила тяжести, сила упругости. Примерами неконсервативных сил являются сила трения и сила сопротивления среды.

Примеры потенциальной энергии:

Рассмотрим формулы работы конкретных консервативных сил:

1. Сила тяжести: А₁₂=mg(y₁-y₂) = -(mgy₂-mgy₁)

2. Работа гравитационного поля:

3. Работа силы упругости:

Вывод:

• поднятые над землей грузы, а также устройства, имеющие сжатую пружину, совершают работу в течение некоторого промежутка времени, а, следовательно, они обладают энергией

• совершая механическую работу, тело или система тел переходит из одного состояния с большей энергией в другое состояние, энергия этих тел в которой минимальна

• таким образом, работа консервативных сил всегда равна изменению некоторой величины, взятой с обратным знаком, зависящей от положения материальной точки. Эту величину назвали потенциальной энергией. Следовательно, работа консервативных сил равна изменению потенциально энергии точки на пути 12, взятой с противоположным знаком.

Подставим в теорему об изменении кинетической энергии значение работы консервативных сил:

Закон сохранения и изменения механической энергии:

Сумма кинетической и потенциальной энергии точки сохраняется, если на нее при движении действует консервативная сила.

Если на систему кроме консервативных сил действуют и неконсервативные силы, то полная механическая энергия не сохраняет свое первоначальное значение, и закон не имеет места.

Например, механическая энергия камня, падающего со значительной высоты, не будет сохраняться, т.к. на камень со стороны воздуха действует сила сопротивления, которая не является консервативной и часть механической энергии будет переходить во внутреннюю.