Вопрос 25. Вынужденные колебания. Резонанс

Ч тобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются соответственно вынужденными механическими и колебаниями.

Уравнение таких колебаний - линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Решение данного уравнения нужно искать в виде суммы решения однородного и частного решений неоднородного.

ч астное решение неоднородного уравнения.

Решение однородного

Резонанс— явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.

Чтобы определить резонансную частоту _рез — частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции A (коэффициент, стоящий перед cos в решении неоднородного уравнения).

Вопрос 26: Волновые процессы. Уравнение плоской волны.

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положении равновесия.

Основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Г рафик волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени в отличие от графика колебаний — зависимость смещения данной частицы от времени.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны (лямбда)

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Плоская волна — плоскости фаз перпендикулярны направлению распространения волны и параллельны друг другу. Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Выведем дифференциальное уравнение:

П усть колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны. В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение  будет зависеть только от х и t, т. е.  = (x, t). Рассмотрим некоторую частицу В среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости x=Q, описываются функцией (0, t) = Acost, то частица В среды колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на т, так как для прохождения волной расстояния х требуется время t = x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию имеет вид, где А = const — амплитуда волны,  — циклическая частота, ₀ — начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [(t - x/v) + ₀] — фаза плоской волны.