Вопрос 22. Пружинный маятник. Энергия маятника.
Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.
Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения. Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.
В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.
Уравнение
движения маятника тх̈
= - kx
или
Пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = A cos(w0t + j) с циклической частотой 0 и периодом T
Энергия маятника:
В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х. Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим:
Потенциальная
энергия пружинного маятника равна
Вопрос 23. Физический маятник
Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.
Е
сли
маятник отклонен из положения равновесия
на некоторый угол ,
то в соответствии с уравнением динамики
вращательного движения твердого тела
момент М
возвращающей
силы можно записать в виде
где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l— расстояние между ней и центром масс маятника,
F = - mgsin mg — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F и всегда противоположны; sin соответствует малым колебаниям маятника, т.e. малым отклонениям маятника из положения равновесия).
Уравнение колебания
физического маятника:
,решение
которого имеет вид
-частота
физического маятника,
-период,
откуда
L = J/(ml) — приведенная длина физического маятника.
Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера (16.1), получим
т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.
Вопрос 24. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение, вид решения.
Свободные затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде
,
где
s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс,
= const — коэффициент затухания,
0
—
циклическая частота свободных незатухающих
колебаний
той же колебательной системы, т. е. при
= 0 (при отсутствии потерь энергии)
называется собственной частотой
колебательной системы
Решение уравнения имеет вид
График затухающих колебаний имеет вид, как видно, амплитуда уменьшается экспоненциально
