Комплексная форма записи мощности

    Допустим, что через электрическую цепь проходит гармонический ток, причем положительные направления тока и напряжения на зажимах цепи приняты совпадающими (рисунок 3.8).

    Комплексные действующие значения тока и напряжения равны соответственно:

  и   .

а                                         б

Рисунок 3.8 Положительные направления (a) и комплексные напряжение и ток (б)

    Фазовый сдвиг тока относительно напряжения равен разности начальных фаз

φ = ψ₂ – ψ₁.

    Умножим   на комплексное действующее значение   , сопряженное с   .

Отсюда следует, что

.

    Так как напряжение может рассматриваться как сумма активной и реактивной слагающих:

, то почленное умножение этих слагающих на  дает активную и реактивную мощности

.

    Аналогично мощность может быть выражена через активный и реактивный токи.

    Таким образом, комплексная величина    определяет действительной частью активную мощность, а мнимой частью реактивную мощность, поступающую в цепь.

    Модуль S равен полной мощности.   носит название мощности в комплексной форме, или комплексной мощности.

    На комплексной плоскости  изображает гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого служат Р и Q (рисунок 3.9).

Рисунок 3.9 Треугольник мощностей на комплексной плоскости

    Треугольник мощностей, изображенный на рисунке 3.9, подобен треугольнику сопротивлений

 .

    Если комплексно сопряженное напряжение   умножить на комплексный ток   , то получится

.

    Поэтому мощности Р и Q на зажимах цепи могут быть записаны в следующем виде

 ;   .

    Комплексное сопротивление цепи легко вычислить, если известны комплексная мощность  и действующее значение тока I ,

 

откуда

  .

    Воспользовавшись выражением (2.28), получим

 .

    Эта формула справедлива при любой схеме соединений индуктивности, емкости и сопротивлений.

    Энергетический метод определения комплексного сопротивления применим и к комплексной проводимости

 ,

откуда                                                          ,

где   – комплексная проводимость, сопряженная с Y.

    Следовательно,

 .

    Итак, активные сопротивление и проводимость цепи зависят от поглощаемой цепью активной мощности, а реактивные сопротивление и проводимость – от разности максимальных значений энергии, запасаемых в магнитном и электрическом полях.

Условие передачи максимальной мощности от источника энергии к приёмнику

Комплексные сопротивления внутреннего и внешнего участка цепи находятся следующим образом:

Z˙вн=rвн+j⋅xвн,Z˙н=rн+j⋅xн.

Мощность приёмника:

P=rн⋅I2=rн⋅(EZвн+Zн)2=rн⋅E2(rн+rвн)2+(xн+xвн)2.

Отсюда при любом rн мощность достигает наибольшего значения при xн=−xвн. В этом случае:

P=rн⋅E2(rн+rвн)2.

Взяв от полученного выражения производную по rн и приравняв её нулю найдем, что P имеет наибольшее значение при rн=rвн.

Таким образом, приёмник получает от источника наибольшую активную мощность, если его комплексное сопротивление является сопряжённым с комплексным внутренним сопротивлением источника:

Z˙н=Z˙ˉвн,

при этом η=0,5.

Последовательный колебательный контур

Колебательные системы широко используются в устройствах связи для селекции сигналов по частоте, улучшения помехоустойчивости каналов связи и ряда других случаев. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся колебательные контуры, получим удобные для анализа выражения для сопротивления этих контуров и фазовые характеристики некоторых цепей, построенных на основе колебательных контуров.

Найдем сопротивление последователь­ного колебательного контура (рис. 2.1):

.              (2.1) Условие резонанса: , где ω0 – резонансная частота. Из этого условия находим  . Если частота эдс – Е меняется вблизи резонансной в наибольших пределах, то можно написать

                                                      ,

где                                                   .

Подставим значение ω в формулу (2.1)

                                        .                            (2.2)

Из условия резонанса

 путем преобразования формулы (2.2) получим

Так как                                   ,  

то                                            ,                                     (2.3)