21. Критерии устойчивости Раусса – Гурвица.

Раусс и Гурвиц нашли условия при которых многочлен любой степени не содержит положительных корней. Эти условия сформированы в виде неравенств, состоящих из коэффициентов многочлена. У Гурвица – это главный определитель, он составляется через характеристическое уравнение А(р)=а₀р^н+а₁р^н-1+…+а_н-1р+а_н

Правила составления определителя: по главной диагонали выписываются все коэффициенты начиная с а1, во всех столбцах вверх от главной диагонали записываются коэффициенты с возрастающими индексами, недостающие коэффициенты заполняются 0.Столбцы вниз от главной диагонали заполняются коэффициентами с убывающими индексами, недостающие – 0.

Необходимые условия устойчивости: положительность и наличие коэффициентов при всех степенях Р., в противном случае система неустойчива. Если условие выполняется, определитель Гурвица гласит: система устойчива если главный определитель и все его диагональные миноры – положительны. Если главный определитель равен 0 Δ_н=а_нΔ_н-1 =0 возможно 2 варианта:

1. а_нΔ_н-1 =0 – система находится на колебательной границе устойчивости.

2. а_н=0 – получаем ассимитрическую границу устойчивости, что невозможно.

Приравнивая определитель 0 можно найти коэффициент передачи разомкнутой системы.

22. Практика применения критерия Гурвица.

Система первого порядка.

А₀р+а₁=0 – характерестическое уравнение

А). W(p)=K/P – возможная передаточная функция. Ф(р)=к/(р+к) Условие необходимости вып.

Б). W(p)= K/Tp+1 Ф(р)=к/Тр+1+к Условие необходимости выполняется, можно составить главный определитель Δ1=|a₁| Положительность главного определителя вытекает из положительности коэффициента а₁ , т.е. выполняются необходимые условия. Значит системы 1ого порядка абсолютно устойчивы.

Системы 2ого порядка.

А). W(p)=K/P(Tp+1) Ф(р)= К/Тр² + р + К – отвечает требоваиям необходимости.

Б). W(p)= K/(T₁ p+1) (T₂ p+1) Ф(р)= К/Т₁ T₂ р² + (Т₁ +T₂ )р + 1 – также отвечает

Построим главный определитель Δ2 = = а₁а₂ , будет всегда положителен т.к. произведение коэффициентов всегда > 0

В). W(p)=K/p² Ф(р)=к/р² + к – требование необходимости не выполняется , т.е. система неустойчива, пример системы которая находится на колебательной границе устойчивости.

Системы 3 порядка.

А₀р³+а₁р²+а₂р+а₃=0 W(p)=K/P² (Tp+1) Ф(р)= К/Тр³ + р² + К – система абсолютно неустойчива

W(p)= K/р(T₁ p+1) (T₂ p+1) Ф(р)= К/Т₁ T₂ р³ + (Т₁ +T₂ )р² + р + к – условие необходимости выполняется, можно составить главный определитель и диагональные миноры

Δ3= Δ1=а1 Δ2=а1а2 – а0а3 Δ3=а3-Δ2

Нужно проверить на положительность 2ой минор, подставим: (Т1+Т2)*1 - Т1*Т2*К > 0. Можем найти условие устойчивости К<(T1+T2)/(T1*T2) , К_критич=(T1+T2)/(T1*T2)

Система 4 порядка

А₀р⁴+а₁р³+а₂р² + а₃р +а₄=0 Δ= Δ1=а1 Δ2=а1а2 – а0а3

Δ3=а1(а2а3-а1а4)-а₃²а0

23. Критерий Михайлова

Этот критерий был доказан сов-м ученым Михайловым в 1938 году.

Это частотный критерий и в основе его лежит понятие годографа замкнутой системы. Такой годограф всегда можно построить. В качестве примера построим годограф системы 2-го порядка с:

W(p) = 10/p(0,5p+1).

Тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:

Ф(р)= .

Рассмотрим 3 частоты: 0, 5 и 10 с^-1

Получим выражение для годографа: D(jω)=0,5(jω)²+jω+10=-0.5ω+jω+10.

Выделим действительную и мнимую часть: Re=10-0,5ω²; Im=ω

Михайловым было доказано, что от каждого отрицательного корня, приращение аргументы 90⁰ и поворот вектора осуществляется против часовой стрелки от действительного положения оси при изменении частоты от 0 до ∞.

От пары комплексно-сопряженных корней с отрицательной вещественной частью, сумма приращеия аргумента 180⁰. От положительных корней приращения аргумента по часовой стрелке => для устойчивой системы, суммарное приращение аргумента равно: ∆argD(jω)=n* ;

Можно сформулировать критерий Михайлова иначе: годограф хар-го ур-ия замкнутой системы должен послед-но обходить n квадратиков комплексной плоскости, начиная с положительной действительной оси.

Практика применения критерия показала, что годограф устойчивой системы высокого порядка имеет вид спирали.