2.Кв.Матрица. Диагональная и единичная матрицы. Примеры.

Единичная матрица

Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:

Для ее обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).

Для обозначения ее элементов также используется символ Кронекера  , определяемый как:

 при 

Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые  , иногда записывается как:

Квадратные матрицы

Матрица   называется квадратной, если количество ее строк равно количеству ее столбцов. О квадратной  -матрице будем говорить как о матрице порядка  , а записывать ее компактно в виде

Если матрицы   и   – квадратные порядка  , то обе матрицы   и   являются тоже квадратными порядка  . Тем не менее, и в этом случае, как правило,  .

Пример:

Говорят, что матрицы   и   коммутируют (или перестановочны), если  .

Симметричная

Главной диагональю квадратной матрицы   называется ее диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол, т.е. эта диагональ содержит элементы  .

Матрица   называется симметричной если она удовлетворяет соотношению

Из определения следует, что симметричная матрица может быть только квадратной, а ее элементы должны удовлетворять соотношению:

Иными словами, симметричная матрица — это такая матрица, которая симметрична относительно своей главной диагонали.

Сколько элементов надо задать, чтобы однозначно определить симметричную матрицу порядка  ?

Частным случаем симметричной матрицы является диагональная матрица:

Единичная

Матрица

называется единичной матрицей порядка  .

3.Транспонированная матрица. Примеры.

Транспонированная матрица — матрица  , полученная из исходной матрицы   заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы   размеров   — матрица   размеров  , определённая как A^T[i, j] = A[j, i].

Например,

      и      

Свойства транспонированных матриц

• 

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

• 

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

• 

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

• 

При транспонировании можно выносить скаляр.

• 

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

4.Элементарные строчные преобразования. Эквивалентные матрицы.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;

• умножение любой строки матрицы на константу  ,  ;

• прибавление к любой строке матрицы другой строки.

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу  ,   и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу  ,  .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение   указывает на то, что матрица   может быть получена из   путём элементарных преобразований (или наоборот).