6.Минор кв. Матриц, соответствующий эл-ту матрицы. Миноры и алгебраические дополнения

Определитель  -го порядка, получающийся вычеркиванием из

-й строки и  -го столбца называется минором⁵⁾  -го порядка этого определителя, соответствующим элементу  . Будем обозначать его  :

Величина

называется алгебраическим дополнением элемента   в  .

Минором данного элемента определителя n - го порядка назы-

вается определитель (n − 1) - го порядка, получаемый из данного

определителя путем вычеркивания той строки и того столбца, на

пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента aij будем обозначать символом Mij . В этом обозначении пер-

вый индекс обозначает номер строки, второй - номер столбца.

7.Алгебраическое дополнение кВ. Матрицы, соответствующ. Эл-ту матрицы.( в вопросе 6)

Пример. Вычислить

разложив определитель по третьей строке.

Решение. В формуле берем  :

и используем формулу вычисления определителя третьего порядка:

Заметим, что тот же самый результат можно было бы получить, сэкономив на вычислении определителей третьего порядка, если бы мы разложили исходный определитель по третьему столбцу:

Наличие нулевых элементов «облегчает жизнь» вычислителю… ♦

А что делать, если среди элементов определителя нет нулевых? — Их надо «сделать».

Для этого в нашем распоряжении имеется такое средство, как преобразования строк или столбцов. В самом деле, на основании общего свойства 6определителя, к любой его строке можно прибавить любую другую строку, домноженную на произвольное число — определитель от этого не изменится; аналогичное свойство справедливо и для столбцов. Но тогда мы можем упомянутые множители подбирать так, чтобы добиться появления как можно большего количества нулей в отдельной строке (или столбце).

8.Вычисление определителя путем разложения по любой строке(столбцу) матрицы.

матрица знаков: 

Разложим определитель по второму столбцу:

На практике нулевые элементы игнорируются, и запись решения принимает более компактный вид:

Задание 1

Раскройте данный определитель по второй строке, используя укороченную запись.

Решение в конце урока.

Если в строке (либо столбце) два нуля, то это вообще настоящий подарок. Рассмотрим определитель  . Здесь два нуля в третьей строке, по ней и раскрываем:

Вот и всё решение!

Особый случай, когда определитель имеет так называемый ступенчатый или треугольный вид, например:   – в таком определителе все числа, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.

Разложим его по первому столбцу:

В практических заданиях удобно руководствоваться следующим правилом – ступенчатый определитель равен произведению чисел его главной диагонали:

Аналогичный принцип справедлив и для ступенчатых определителей других порядков, например:

Треугольные определители появляются в некоторых задачах линейной алгебры, и их решение чаще всего оформляют именно так.

А если в строке (столбце) определителя находятся одни нули? Ответ, думаю, понятен. Мы ещё вернёмся к этому вопросу в свойствах определителя.

Теперь представим, что долгожданные баранки не положены в новогодний подарок. Так давайте же распотрошим нехорошего Санта-Клауса!

Здесь нет нулей, но всё равно существует способ облегчить себе жизнь. Данный определитель оптимальнее разложить по третьему столбцу, поскольку там самые маленькие числа. При этом запись решения принимает весьма лаконичный вид:

Резюмируя параграф, сформулируем золотое правило вычислений:

Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке (столбцу), где:

1) нулей побольше; 2) числа поменьше.

Естественно, это справедливо и для определителей высших порядков.