12.Формула для вычисления обратной матрицы.

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как Вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом 

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы 

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель? Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось,  , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров  .

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица  , то есть в данном случае  .  Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице  Сначала рассмотрим левый верхний элемент: Как найти его минор? А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров: Рассматриваем следующий элемент матрицы  : Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу: Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры: Готово.

 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы  .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений  .

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел: Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

 – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

И всего-то лишь…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений  .

Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу  Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статьеДействия с матрицами.

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение   либо 

Проверка: 

Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах).

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Если провести действие  , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три».