Вариант №32

1. Вычислить определитель матрицы:

2. Решить систему:

3. Найти линейную зависимость между векторами и указать все базисы:

4. Решить матричное уравнение XA – 2B = C , где

5. Даны четыре вектора:

Показать, что в векторы образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение типового варианта

1. Вычислить определитель:

Решение. Вынесем из 2-й строки общий множитель 2, а из 3-й строки – 3. Затем 1-й столбец умножим на (– 2) и прибавим к элементам 2-го столбца. Во 2-й строке получили три нуля, разложим по элементам этой строки.

2. Решить систему методом Гаусса.

Решение. Все преобразования будем проводить над расширенной матрицей, переход от одной матрицы к другой будем сопровождать символом ~ эквивалентности.

~

Так как три последних строки пропорциональны второй строке, то их можно удалить.

Полученной матрице соответствует система

Число уравнений число переменных поэтому два неизвестных – базисных, три – свободных. За базисные выбирают те переменные, коэффициенты при которых дают определитель, отличный от нуля. Например, в нашем случае за базисные можем взять переменные и так как

Переменные и базисными не являются, поскольку

Если и базисные переменные, то остальные переменные свободные. Переносим их к свободным членам и ищем решение системы обычным образом.

Из последнего уравнения Подставляя найденное в первое уравнение, получим

т.е.

Таким образом, общее решение

Положив получим базисное решение

3. Показать, что система векторов линейно зависима, найти линейную зависимость между векторами и указать все базисы.

.

Решение.

. (1)

Линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору. .

Решим эту систему методом Гаусса. Для этого составим матрицу:

Так как , то система векторов линейно зависима.

Пусть – базисные переменные, а – свободная переменная.

Подставим найденные в равенство (1).

– линейная зависимость между векторами.

Найдем базисы:

Так как вектор нельзя выразить через вектора , следовательно, эти вектора базиса не образуют.

4. Решить матричное уравнение где

Решение. Получили уравнение вида его решение таково: Найдем матрицу D.

Найдем тогда обратную матрицу найдем по формуле

Вычислим алгебраические дополнения элементов в матрице А по формуле

Таким образом

Значит

Ответ:

5. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Решение. Вычислим определитель, составленный из координат векторов . Вычитая из второй строки удвоенную первую, а из третьей – первую строку, умноженную на 3, получим

.

Разложим определитель по элементам первого столбца и запишем ответ

Так как определитель не равен нулю, то векторы образуют базис.

Найдем координаты вектора в базисе, образованном векторами . Запишем разложение вектора по указанному базису

Для определения координат вектора получаем систему уравнений

(1)

Решим систему, применяя метод Гаусса. Исключая неизвестное из всех уравнений системы кроме первого, получим:

Система (1) преобразуется в систему (2).

(2)

Из последнего уравнения системы (2) найдем у = 2, из предпоследнего найдем z = 3 и, наконец, из первого х = 1. Итак, координаты вектора (1, 2, 3).