25. Теорема о наложении решений.

При нахождении частного решения ЛНДУ справедлива теорема о наложении решений:

Если правая часть уравнения y”+P(x)y’+q(x)y=f(x) представляет собой сумму 2х ф-ий f(x)=f₁(x)+f₂(x), а у₁* и у₂*-частные решения уравнений y”+P(x)y’+q(x)y=f₁(x) и y”+P(x)y’+q(x)y=f₂(x) соответственно, то функция у*=у₁*+у₂* явл решением данного ур-ния.

Док-во: подставим у₁*+у₂* в данное уравнение, получим (у₁*+у₂*)”+P(x)( у₁*+у₂*)’+q(x)( у₁*+у₂*)=[(y₁*)”+P(x) (y₁*)’+q(x)( y₁*)]+[(y₂*)”+P(x)( y₂*)’+q(x)(y₂*)]=f₁(x)+f₂(x)=f(x)

______________________

26. Лнду 2ого порядка с постоянными коэф-ми и правой частью специального вида.

Рассмотрим ЛНДУ 2ого порядка с пост коэф-ми y”+Py’+qy=f(x) (1). Согласно теореме о структуре общего решения ЛНДУ общее решение иданного ур-ния представляет собой сумму общего решения y̅̅ соответствующего однородного ур-ния и частного решения у* неоднородного ур-ния. Т.е. у= y̅̅+у*.

Частное решение м б найдено методом вариации произвольной постоянной. Для уравнения (1) сущ-ет более простой способ нахождения у*:

Случай1: если правая часть f(x) уравнения (1) имеет так называемый спец вид. f(x)=P_n(x)e^αx(2). P_n(x)-многочлен степени n. В этом случае частное решение у* будем искать в виде у*=х^rQ_n(x)e^αx(3). r-число, показывающее сколько раз α совпадает с корнями хар-кого ур-ния k²+pk+q=0, r=0,1,2.Q_n(x)-многочлен степени n, записанный с неопред коэф-ми в частности

n=0Q_n(x)=A

n=1 Q_n(x)=Ax+B

n=2 Q_n(x)=Ax²+Bx+C

n=3 Q_n(x)=Ax³+Bx²+Cx+D

Случай2: f(x)=e^αx(P_n(x)cosβx+Q_n(x)sinβx)(4), где P_n(х) и Q_m(х)-многочлены степени n и m соответственно. α и β-действительные числа. В этом случае частное решение у* ур (1) следует искать в виде y*=x^r e^αx (M_l(x)cosβx+N_l(x)sinβx) (5), где r- число, равное кратности α+-βi как корня характеристического ур-ния k²+pk+q=0, r=0,1. M_l(x) и N_l(x)-многочлен степени l с неопред коэф-ми. l=max(n;m).

l=0M_l=A, N_l=B

l=1 M_l=Ax+B, N_l=Cx+D

l=2 M_l=Ax²+Bx+C, N_l=Ex²+Fx+D.

!!! форма (5) сохраняется и в тех случаях, когда P_n(x) 0 или Q_n(x) 0

______________________

27. ЛНДУ n-ого порядка (n>2) c постоянными коэф-ми и правой частью спец вида.

Рассмотрим уравнение y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+a₂(x)y^(n-2)+…+a_n(x)y=f(x) (1).

Соответствующее однородное уравнение y⁽ⁿ⁾+a₁(x)*y^(n-1)+a₂(x)*y^(n-2)+…+a_n(x)*y=0. теорема о структуре общего решения ЛНДУ n-ого порядка: общим решением у ур (1) явл сумма его произвольного частного решения у* и общего решения y̅̅ соответствующего однородного уравнения: у=у*+ y̅̅.

Частное решение у* в этом случае м б найдено, если известно общее решение y̅̅ однород ур-ния, методом вариации произвольных постоянных. Оно ищется в виде у*=с₁(х)у₁(х)+с₂(х)у₂(х)+…+с_n(x)y_n(x), где y₁(x)…y_n(x)-частные решения образующие фундаментальную систему однород уравнения.

Система уравнений для нахождения с_i(x) будет иметь вид:

Однако для ЛНДУ n-ого порядка с пост коэф-ми y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1)+p₂y^(n-2)+…+p_ny=f(x) где р_i-постоянные числа, правая часть которого имеет спец вид, частное решение у* м б найдено методом неопределенных коэффициентов для ур 2ого порядка.

______________________