2. Геометрический смысл д.У. 1-го порядка

Пусть дано у=(х,у) (1)– ДУ 1-ого порядка, разреш-ое относительно производной, и у=у(х,С) – общее решение этого ур-ия. Оно опред-ет собой семейство интегральных кривых на пл-ти ХОY. Если переменные х и у в правой части (1) рассмат-ть как коорд-ы точки М(х,у) в пл-ти ХОY, то произ-ая у в этом случае выражает угловой коэф-т касат-ой к интегральной кривой в т. М(х,у) => ДУ (1) опред-ет в каждой точке пл-ти ХОY, прин-щей обл-ти сущест-ия ф-ии (х,у), напр-ние интегр-ой кривой, прох-щей через эту точку. (т.е. (1) опред-ет поле напр-ний на пл-ти ХОY,а решение – инт. кривая, напр-ние кас-ой, к которой в каждой точке совподает с напр-нием поля в этой точке.). Решение (1) можно искать граф-ски, используя поле направ-ий, опред-мое этим ур-ем. Пр у = у/х

______________________

3. Ур. С разделяющимися прм

Уравнения вида : y’=f1(x)*f2(y) (1)

где f1(x) и f2(x)- непрерывные функции назовем уравнением с разделяющимися переменными.

Т.к. y’=dy/dx , то получим: dy/dx=f1(x)*f2(y).

Для отыскания решения нужно разделить в последнем уравнении переменную. Для этого обе части уравнения умножим на dx и разделим f2(y).(f2(y)≠0). В результате получим уравнение с разделяющимися переменными: dy/f2(y)=f1(x)dx

Интегрируя последнее равенство, получаем:

∫dy/f2(y)=∫f1(x)dx+C (2)

Соотношение (2) есть общий интеграл уравнения (1).

Очень часто в различных моделях экономической динамики встречаются так называемые автономные уравнения, которые являются частным случаем уравнений с разделяющимися переменными. Это уравнения вида: y’=y(y)

______________________

4. Однородные д.У. Первого порядка.

Функция f(x,y) называется однородной функцией n-го измерения, если для всех t справедливо равенство: f(tx;ty)=tⁿf(x;y) (1)

Функция f(x,y) называется однородной функцией 0-го измерения, если для всех t справедливо: f(tx;ty)=f(x;y) (1.0)

Дифференциальное уравнение y’=f(x;y) называется однородным, если функция f(x,y) является однородной функцией 0-го измерения.

Покажем, что однородное уравнение можно записать в виде: y’=φ(y/x) (2)

Если f(x,y) однородная функция 0-го измерения, то по определению переменные x и y можно умножить на произвольный параметр t=1/x и значение заданной функции в этом случае не изменится

f(x;y)=f(tx;ty)=f(1;y/x)=φ(y/x)

Однородное уравнение (2) можно привести к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=x*z, где z-новая функция.

Дифференцируя равенство y=x*z, получаем: y’=z+x*z’

Подставив выражения для y и y’ в уравнение (2), получим:

z+xz’=φ(xz/x)

z+xz’=φ(z)

x*(dz/dx)=φ(z)-z

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение, следует заменит в нем z на y/x. Получим общее решение исходного уравнения. Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 (3)

Дифференциальное уравнение (3) будет однородным, если P(x,y) и Q(x,y) есть однородные функции одного измерения.

Переписав уравнение (3) в виде: dy/dx= - P(x;y)/Q(x;y)

И применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение вида (2).

Замечание: при интегрировании уравнения (3) нет необходимости предварительно приводить его к виду (2), но можно.

Указание: подстановка y=x*z сразу преобразует уравнение (3) в уравнение с разделяющимися переменными.

______________________