19. Теорема о структуре общего решения лду 2го порядка.

теорема 2.4.:структура общего решения ЛОДУ 2 порядка: если 2 частных решения y₁=y₁(x) и y₂=y₂(x) ЛОДУ 2 порядка (2.1) образует на (a;b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x) (2.4), где С₁ и С₂ =const

доказательство

Согласно т(2.1) функция (2.4) является решением (2.1). Остается доказать, что это решение общее, т.е. из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

y|_x=x0=y; y’|_x=x0=y (2.5), где x₀ принадлежит (a;b)

Подставим (2.5) в решение (2.4), получим:

,

где y₀=y(x₀), y₀=y(x₀) с неизвестными C₁ и C₂

Определитель этой системы:

=W(x)

равен значению определителя Вронского при x=x₀.

т.к. решения y₁(x) и y₂(x) образуют фундаментальную систему решений на (a;b) и x₀ принадлежит (a;b), то согласно т.2.3. W(x₀) ≠0

Поэтому система имеет единственное решение: C1=C1^0=1/W(x0)*

C1=C1^0=1/W(x0)*

Решение y=C₁ºy₁(x)+C₂ºy₂(x) является частным решением (единственным в силу теоремы единственности) уравнения (2.1), удовлетворяющим (2.5)

______________________

20. Лоду n-го

ЛОДУ n-го порядка имеют вид: y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+a₂(x)y^(n-2)+…a_n(x)y=0 (1)

1. если функции y₁=y₁(x) и y₂=y₂(x) …, y_n=y_n(x) являются частными решениями уравнения (1), то его решением является функция y₁=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)+C_ny_n(x)

2. функции y₁, y₂…y_n называются линейно независимыми на (a;b), если равенство: α₁y₁(x)+α₂y₂(x)…+α_ny_n(x)=0 выполняется лишь в случае, когда числа α_i=0(i=1…n). В противном случае хотя бы одно из чисел α_i≠0 функции y₁,y₂…, y_n- линейно зависимы

3. определитель Вронского имеет вид:

4. частные решения y₁, y₂…y_n уравнения (1) образуют функциональную систему решений на интервале (a;b) если ни в одной точке этого интервала определитель Вронского W(x)≠0 для всех x из интервала (a;b)

5. общее решение ЛОДУ(1) будет иметь вид: y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)+…C_ny_n(x), где C_i=const(i=1…n), y_i- частное решение (1), образующее фундаментальную систему

______________________

21. Лоду 2ого порядка с пост коэф-ми.

Пусть дано ЛОДУ 2ого порядка y”+Py’+qy=0 (1), где p и q – const.

Для нахождения общего решения (1) достаточно найти 2 его частных решения, образующих фундаментальную систему по теореме о структуре общего решения ЛОДУ 2ого порядка. Будем искать эти решения в виде y=e^kx, k-const.

Подстановка: k²e^kx+pke^kx+qe^kx=0

e^kx(k²+pk+q)=0

k²+pk+q=0 – характеристическое уравнение. Для его составления надо заменить в ур (1) y”,y’,y на k²,k и 1 соответственно. При решении хар уравнения возможно 3 случая:

1 случай: Корни k1 и k2 хар-ого ур-ия (2) дейст-ые и различны: k1k2. В этом случае, частными реш-ми ур-ия (1) явл-ся ф-ии у1=ek1*x и у2=ek2*x – они образуют фунд-ую систему, т.к. их вронскиан

W(x)= | e^(k1* x ) e^(k2* x) |

| k1*e^(k1* x) k2*e^(k2* x)| =k2*e^((k1+k2)x )– k1*e^((k1+k2)x) =(k2–k1)* e^(k1+k2)x e^(k1+k2)<> 0, k2<>k1. Значит, W(x)<>0 Cлед-но, структура общего решение ур-ия (1) будет иметь вид у=С1*e^(k1* x)+С2*e^(k2* x).

2 случай: Корни k1 = k2 = k дейст-ые и равны(Д=0). В этом случае имеем лишь одно частное решение у1=e^(kx). Наряду с этим решение будет сущ-ть и у2=х*e^(kx). Подставив ф-ию у2 в ур-ие (1) => у2+ру2+qy=(x*e^(kx)) +p*(x*e^(kx))+q*x*e^(kx)= ekx(k(2+kx))+p*ekx(1+kx)+q*x*ekx= ekx(k2x+2k+p+ pkx+qx)= ekx(2k+p+x(k2+pk+q))=0, тк 2k+p=0, поскольку k1=k2= –p/2 и k2+pk+q=0. Т.е. ф-ия у2=х*еkx явл-ся реш-ем ур-ия (1). Част-ные решения у1=еkx и у2=хеkx образуют фунд-ую систему решений: W(x)=|ekx x*ekx k*ekx (1+kx)*ekx| = e2kx *(1+kx – kx)= e2kx  0. След-о, в этом случае общее решение ЛОДУ (1) имеет вид: у=С1еkx+C2xekx.

3 случай: Корни k1 и k2 хар-кого ур-ия (2) комплексные k1=+*i , k2=–*i. В этом случае частными решениями ур-ия (1) явл-ся ф-ии у1=е(+* i) х , у2=е(–* i) х => по формулам Эйлера у1=ех*(cos(x)+i*sin(x)), у2=ех*(cos(x)–i*sin(x)). Найдем два дейст-ых частных решения ур-ия (1) . Для этого составим две линейные комбинации решений у1 и у2: (у1+у2)/2=еч*cos(x)=ў1 , (у1–у2)/2i=еч*sin(x)=ў2 Ф-ии ў1 и ў2 явл-ся решениями ур-я (1), что следует из св-в решений ЛОДУ 2-ого порядка - эти решения образуют фун-ую систему решений, т.к. W(x)=| еч*cos(x) еч*sin(x) еч*[*cos(x)–*sin(x)] еч*[*sin(x)+*cos(x)] | = e2x*[*cos(x)*sin(x)+*cos2(x)– *cos(x)*sin(x)+ *sin2(x)]=*e2x0. Поэтому общее решение ур-ия (1) записывается в виде: у=ex*(С1*cos(x)+ C2*sin(x)).

______________________