12. Ду 2ого порядка (основные понятия, частные и общие решения, ощий и частный интеграл.)

Ур. Вида F(x,y,y’,y”)=0 (1) где x-независ прм, y- искомая ф-ия, y’ и y” – её производные, наз-ся ДУ 2ого порядка.

Если (1) разрешить отн-но y”, то получим y”=f(x,y,y’)(2).

Решением ДУ 2ого порядка явл ф-ия y=φ(x), к-ая при подстановке в ур-ие обращает его в тождество. Общее реш-е ДУ 2ого порядка явл ф-ия y=φ(x,c_1,c₂), где c_1,c₂-независ от х произв постоян, удовлетворяющие условиям:

1.φ(x,c_1,c₂) явл решением ДУ для каждого фиксир значения с₁ и с₂.

2.каковы бы ни были условия y(x₀)=y₀, y’|_x=x₀=y’₀ (3), сущ единств значение постоянных, такие, что ф-ия y=φ(x,c₁⁰c₂⁰) явл решением ур (2) и удовлетв (3).

Всякое решение φ(x,c₁⁰c₂⁰) к-ое получается из общего решения при конкретных значениях пост-ных с₁=с₁⁰ и с₂=с₂⁰ наз-ся частным решением.

Решение ДУ (2), записанное в виде Ф(x,y,с_1,с₂)=0 и Ф(x,y,с₁⁰_,с₂⁰)=0 наз-ся общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ2п называется интегральной кривой этого уравнения. Общее решение ДУ(2) представляет собой множество интегральных кривых. Частное решение есть одна интегральная кривая этого множества, проходящая через т.(х0,у0) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом у’(x0)=y’/

Теорема о существовании и единственности решения (Коши): если в уравнении (2) функция f(x,y,y’) и ее частные производные f’(y) и f’(y’) непрерывны в некоторой области D изменения переменных x,y,и y’, то для всякой т.(x0,y0,y’0) Є D существует единственное решение y=φ(x) уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям (3) в окрестности т.x0

______________________

13. Геометрический смысл ду-2

Перепишем ДУ F(x,y,y,y)=0 в виде F(x,y,y, [y/(1­+(y)2)3/2]*(1­+(y)2)3/2) )=0. Очевидно, что ДУ 2-ого порядка уст-вает связь между коорд. т. (х,у) интегр-ной кривой, угловым коэф-том k=y кас-ой к ней и кривизной: k=y/(1+(y)2)3/2 В этом состоит геометр-ое истолкование ДУ 2-ого порядка. (задача Коши и теорима сущ. и единст. задачи Коши определяются как и для ДУ 1-ого порядка)

______________________

14. Уравнения, допускающие понижение порядка (3 типа).

Рассмотрим y”=f(x,y,y’) (1).

Понижение порядка – преобразование (1), при кот с помощью замены прм, решение этого ур-ия сводится к решению ур 1ого порядка.

3 типа ур-ния, допускающие понижение порядка.

1 тип y”=f(x).

правая часть не содержит y и y’. Введём подстановку Р(х)=у’, тогда P’(x)=y”, после чего ур становится ур-нием 1ого порядка. P’=f(x). Решая это ур находим P=∫f(x)dx+c_1.

Т.к. Р=у’, то у’==∫f(x)dx+c₁. интегрируя ещё раз, получаем у=∫[∫f(x)]dx+c₁x+c₂ – общее решение (c₁ и c₂ - произв постоянные). Замечание: можно не вводить подстановку, а последовательно интегрировать.

2 тип y”=f(x,y’)

правая часть не содержит явным образом ф-ию у. Введем подстановку как и в 1ом случае. В рез-те получим ур-ние P’=f(x,P). Решая это ур, найдем P=φ(x,c₁). Т.к. P=y’, то y’= φ(x,c₁). Проинтегрировав последнее ур, получим y=∫φ(x,c₁)dx+c_2.

3 тип y’=f(y,y’)

правая часть не содежит явным образом аргумент х. Введем подстановку y’=P, где P будем считать некот ф-ей от у. Т.е. P=P(y).

Дифференцируя, получаем y”=dy’/dx=dP/dx=dP/dy*dy/dx=P*dP/dy, т.о. y”=P*dP/dy.

Подставив в исх ур вместо y” произведение P*dP/dy, получим p*dP/dy=f(y,P)-ДУ 1ого порядка относ-но прм P и y.

Если Р=φ(y,c₁) есть общее решение последнего ур-ния, то учитывая, что P=y’, получаем y’=φ(y_1,c₁).

dy/dx=φ(y_1,c₁)

∫dy/ φ(y_1,c₁)=∫dx+c₂

∫dy/ φ(y_1,c₁)=x+c₂-общий интеграл заданного ур-ния.

______________________

15. ДУ n-го порядка.

ДУ n-го порядка имеет вид:

F(x,y,y,y,…,y(n))=0

Если разрешить это уравнение относительно старшей производной, то получим:

(n)=(х,у,у,у, …,у(n-1)) (1)

Решением уравнения (1) называется функция y=φ(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общее решение (1) зависит от x и n- произвольных постоянных, т.е. может быть записано в виде: y=φ(x,C1,C2…Cn)

Решения, которые получаются из общего решения при конкретных значениях постоянных С1, С2 …Сn, называется частным решением уравнения (1).

Чтобы выделить частное решение из общего можно задать начальные условия:

y|_x=x0=y₀ (2)

y’| _x=x0=y₀’, …, y^n-1| _x=x0=y^n-1

Отысканное решение уравнения (1), удовлетворяющего заданным начальным условиям (2) называется задачей Коши для этого уравнения.

Теорема о существовании и единственности решения уравнения (1) аналогична также соответствующим теоремам, приведенным для случаев n=1 и n=2.

Простейшие уравнения вида (2) есть уравнение, правая часть которого зависит только от х:

yⁿ=f(x)(3)

Это уравнение решается последовательным интегрированием n раз:

y^n-1= ∫f(x)dx+C1

y^n-2= ∫[f(x)dx]dx+C1x+C2

y=∫dx … ∫f(x)dx+C1(x^n-1/(n-1)!)+ C2(x^n-2/(n-2)!)+…Cn

______________________