Самостоятельная работа. Вариант №1.

Установить истинность высказывания

Решение.

X	Y			X Y
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	0	1	1	0	1

2. Для формулы придумайте формализуемое предложение.

3. Установите, является ли высказывание (X Y) тавтологией.

Решение.

X	Y	(X Y)				(X Y)
0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	0	1	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Вывод. Высказывание тавтологией не является.

4. Установите, эквивалентны ли высказывания?

Решение.

A	B					A B
0	0	1	1	1	0	0	1
0	1	1	0	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1
1	1	0	0	0	1	1	0

Вывод. X1 X3

Вариант №2.

1. Установить истинность высказывания

Решение.

X	Y	X Y
0	0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	1

2. Для формулы придумайте формализуемое предложение.

3. Установите, является ли высказывание тавтологией.

Решение.

X	Y	X Y
0	0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1	0	0
1	1	1	0	0	0	0	1

Вывод. Высказывание тавтологией не является.

4. Установите, эквивалентны ли высказывания?

Решение.

X	Y
0	0	1	1	0	1	0	1	0
0	1	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0	1	1	0
1	1	0	0	0	1	0	1	0

Вывод. A B

IV. Подача нового материала. (Использовать программу MATLOG).

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

Перечислим наиболее важные из них:

1. X X Закон тождества.

2. Закон противоречия

3. Закон исключенного третьего

4. Закон двойного отрицания

5. Законы идемпотентности: X X X, X X C

6. Законы коммутативности (переместительности): X Y Y X, X Y Y X

7. Законы ассоциативности (сочетательности): (X Y) Z X (Y Z), (X Y) Z X (Y Z)

8. Законы дистрибутивности (распределительности): X (Y Z) (X Y) (X Z), X (Y Z) (X Y) (X Z)

9. Законы де Моргана ,

10. X 1 X, X 0 X

11. X 0 0, X 1 1

12. Законы поглощения: X (X Y) X, X (X Y) X

13. Законы склеивания: (X Y) ( Y) Y, (X Y) ( Y) Y

1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.

Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием. “Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.

Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.

“ Неверно, что 2*2<>4”

Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.

Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.

В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:

- отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.

- отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.

Доказать законы логики можно:

1. с помощью таблиц истинности;

2. с помощью равносильностей.

Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:

1. (X Y) ( Y) (X+Y) *( +Y) X* + Y* + Y*Y+ X*Y Y* + Y + X*Y Y* + Y(1+X) Y* +Y Y( +1) Y склеивания

2. X (X Y) X*X+X*Y X+X*Y X(1+Y) X поглощения