Соотношение неопределенностей
88. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна длине ее дебройлевской волны, оцените относительную неопределенность импульса частицы.
Решение.
Из соотношения неопределенностей
имеем
откуда
92. Используя соотношение неопределенностей, оцените естественную ширину спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет 0,5 нс, длина волны излучения равна 120 нм.
Решение.
Спектральная линия излучения атома обладает естественной шириной вследствие неопределенности энергии атома ΔE в возбужденном состоянии. Примем среднее время жизни атома в возбужденном состоянии за неопределенность времени Δt существования этого состояния. Используем соотношение неопределенностей
Далее
откуда
93. Естественная ширина спектральной линии излучения атома с длиной волны 550 нм составляет 10-14 м. Используя соотношение неопределенностей, найдите среднее время жизни атома в возбужденном состоянии.
Решение.
Спектральная линия излучения атома обладает естественной шириной вследствие неопределенности энергии атома ΔE в возбужденном состоянии. Примем среднее время жизни атома в возбужденном состоянии за неопределенность времени Δt существования этого состояния. Используем формулы
откуда
Применение уравнения Шредингера
106. Частица находится в одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной 0,3 нм. Найдите точки x интервала 0 < x < l, в которых совпадают плотности вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях (исключая точки x = 0 и x = l).
Решение.
Плотность вероятности нахождения электрона на n – ом энергетическом уровне
Согласно условию о равенстве плотностей вероятности нахождения электрона на первом (n = 1) и втором (n = 2) энергетических уровнях
имеем тригонометрические уравнения:
Прежде, чем решать эти уравнения аналитически, найдем графическое решение.
На рисунке изображены два графика плотностей вероятности нахождения электрона при n = 1 и n = 2. Из рисунка видно, что, исключая точки x = 0 и x = l, нужно искать еще две точки.
0 l x
Получим аналитическое решение:
откуда
Ответ: 0,1 нм, 0,2 нм.
107. Частица находится одномерном прямоугольном бесконечно глубоком потенциальном ящике. Найдите (в процентах) вероятность того, что частица, находящаяся в основном энергетическом состоянии, будет обнаружена в крайней четверти ящика.
Решение.
Вероятность обнаружения частицы в крайней левой четверти ящика вычисляется по формуле
Покажем графическое решение, из которого видно, что искомая вероятность меньше одной восьмой (площадь под фигурой равна 1, а площадь каждого маленького прямоугольника равна одной четвертой).
0 l x
108. Частица находится одномерном прямоугольном бесконечно глубоком потенциальном ящике. Найдите (в процентах) вероятность того, что частица, находящаяся в третьем энергетическом состоянии, будет обнаружена в крайней четверти ящика.
Решение.
Вероятность обнаружения частицы в крайней левой четверти ящика вычисляется по формуле
109. Частица находится одномерном прямоугольном бесконечно глубоком потенциальном ящике ширины 0,2 нм. Найдите номер энергетического состояния частицы, если энергия этого состояния соответствует импульсу частицы 3,33∙10-24 Н∙с.
Решение.
Будем считать частицу классической, тогда
откуда
114. Пси – функция частицы в некотором силовом поле имеет вид: ψ(r) = = (C/r)∙exp(– αr), где C и α – постоянные, r – расстояние частицы от центра поля. Найдите, чему равно отношение радиальных плотностей вероятностей нахождения частиц в точках 1 и 2, если разность расстояний от центра поля до этих точек равно 1/α.
Решение.
Радиальная плотность вероятности равна
Отношение радиальных плотностей вероятностей нахождения частиц в точках 1 и 2 равно
Задача. Пси – функция частицы в некотором силовом поле имеет вид: ψ(r) = = (C/r)∙exp(– αr3), где C и α – постоянные, r – расстояние частицы от центра поля. Найдите, чему равно отношение радиальных плотностей вероятностей нахождения частиц в точках 1 и 2, если разность кубов расстояний от центра поля до этих точек равно r23 – r13 = 2/α.
Решение.
Радиальная плотность вероятности равна
Отношение радиальных плотностей вероятностей нахождения частиц в точках 1 и 2 равно
