Квантовая статистика и полупроводники

Функция распределения Ферми – Дирака, энергия Ферми, распределение свободных электронов по энергиям

Собственная электропроводимость и сопротивление чистого полупроводника, электропроводимость и сопротивление примесного полупроводника

144. Найдите относительное число свободных электронов в металле, которые при температуре, близкой к абсолютному нулю, имеют кинетическую энергию, превышающую половину максимальной энергии.

Решение.

Искомое относительное число свободных электронов будет равно отношению интеграла от распределения свободных электронов по энергиям от 0,50 E_F до E_F к интегралу от распределения свободных электронов по энергиям от 0 до E_F:

В числителе стоит число свободных электронов в единице объема металла, которые при температуре, близкой к абсолютному нулю, имеют кинетическую энергию, превышающую половину максимальной энергии, а в знаменателе – полное число электронов в единице объема металла.

146. Найдите минимальную энергию образования пары электрон – дырка в чистом полупроводнике, сопротивление которого уменьшается в 7,4 раза при увеличении температуры от 27°С до 127°С.

Решение.

Искомая энергия равна ширине запрещенной зоны в чистом полупроводнике, которую найдем из формулы для сопротивления чистого полупроводника.

Логарифмируем

148. При увеличении начальной абсолютной температуры 293 К удельное сопротивление некоторого чистого полупроводника уменьшилось в 20,1 раза. Ширина запрещенной зоны у этого полупроводника 0,758 эВ. Найдите, во сколько раз была увеличена температура.

Решение.

Используем формулу, полученную при решении предыдущей задачи:

откуда

Свойства атомных ядер. Радиоактивность и ядерные провращения

Массовое число, радиус ядра, энергия связи ядра, α – и β – распады, закон радиоактивного распада, среднее время жизни и период полураспада

154. Найдите объемную плотность электрического заряда в атомных ядрах, считая, что ядро имеет форму шара, зарядовое Z число в два раза меньше массового числа A.

Решение.

Заряд этого ядра равен

а его объем равен

откуда объемная плотность электрического заряда равна

Задача. Период полураспада радиоактивного изотопа натрия равен 11,5 часа. Найдите, за какое время 1 микрограмм этого изотопа испустит 5·10¹⁴ бета – частиц.

Решение.

Массу ядра найдем в таблице:

а для нахождения массы атома прибавим массу электронов:

Найдем, сколько ядер содержалось в начальной массе изотопа:

Исходим из того, что в каждом акте распада изотоп испускает 1 бета – частицу. Число актов распада, равное искомому числу бета – частиц, найдем с помощью закона радиоактивного распада:

Откуда

172. Найдите среднее время жизни ядер радиоактивного изотопа, активность которого уменьшается на 5 % за один час.

Решение.

Согласно условию

откуда

Имеем

174. В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего изотоп натрия с активностью 2·10³ Бк. Активность крови объемом 1 см³, взятой через 5 часов, оказалась равной 0,267 Бк. Период полураспада этого изотопа – 11,5 часов. Найдите по этим данным объем крови человека.

Решение.

Начальная активность изотопа

через t = 5 часов –

Эта активность A больше активности A_вз крови, взятой у человека во столько раз, во сколько раз объем V крови человека больше V_вз = 1 см³:

откуда

175. Найдите энергию, необходимую для разделения ядра неона на две α – частицы и ядро углерода . Удельные энергии связи в ядрах , и соответственно равны 8,03, 7,68 и 7,07 МэВ/нуклон.

Решение.

Обозначим перечисленные ядра соответственно цифрами 1, 2 и 3. Искомая энергия равна разности между энергией связи материнского ядра 1 и суммами энергий связи трех дочерних ядер 2, 3, 3. Названные энергии связи получим умножением перечисленных удельных энергий связи на соответствующие числа нуклонов в этих ядрах:

178. Считая, что в одном акте деления ядра урана освобождается энергия 200 МэВ, найдите суточный расход чистого урана на атомной электростанции с тепловой мощностью 300 МВт.

Решение.

Пусть вся энергия, освобождающаяся при делении урана, переходит в тепло. Тогда число разделившихся за сутки ядер будет равно тепловой мощности, деленной на энергию , выделяющуюся в каждом акте деления:

Массу одного ядра урана найдем, учитывая, что энергия связи этого ядра в расчете на один нуклон составляет примерно 7 МэВ/нуклон:

Число разделившихся за сутки ядер равно массе всего разделившегося урана, деленной на массу одного ядра:

откуда

179. Считая, что в одном акте деления ядра урана освобождается энергия 200 МэВ, найдите массу этого изотопа, подвергшегося делению при взрыве атомной бомбы с тротиловым эквивалентом 300 килотонн. Энергия взрыва одного килограмма тротила составляет 4,1·10⁶ Дж.

Решение.

Число разделившихся при взрыве ядер урана будет равно мощности взрыва, деленной на энергию , выделяющуюся в каждом акте деления:

Масса изотопа, подвергшегося делению при взрыве, будет равна произведению массы ядра, значение которой возьмем из прошлой задачи, на число разделившихся при взрыве ядер:

Задача. Сколько – и – распадов испытывает ядро урана , превратившись в конечном счете в стабильное ядро изотопа .

Решение.

Массовое число A изменяется только при – распаде. Поэтому найдем сначала число – распадов. Всего число A уменьшилось на 238 – 206 = 32 единицы. При каждом – распаде число A уменьшается на 4 единицы, а число Z уменьшается на 2 единицы Значит было 32 : 4 = 8 – распадов. Число Z при этом уменьшилось бы на 8 2 = 16 единиц.

Без – распадов мы бы получили превращение . Но ведь в итоге получилось Z = 82. Значит было 82 – 76 = 6 – распадов.

Ответ: 8 – распадов и 6 – распадов.