57. Теория z-преобразования.

Для определения Z - преобразования воспользуемся выражением для ДПФ дискретного сигнала рассмотренного в лек. 18 (формула 18.10), записав его в виде:

(18.10)

Вводя новое обозначение этот ряд можно переписать в виде: (19.1)

В такой форме полученная сумма носит название Z - преобразования последовательности дискретных сигналов . Новая переменная Z представляет собой комплексное число. Использование Z - преобразования позволяет перейти в задачах анализа от трансцендентных функций е^pt к алгебраическим рядам с комплексной переменной Z.

Рассмотрим несколько простых примеров.

1. Допустим сигнал задан в виде дельта - функции:

В этом случае (19.2)

Смещение на один такт во временной области соответствует умножению на Z^-1 в области Z - изображения, на два такта на Z^-2 и т.д.

2. Дискретный сигнал моделирует скачок напряжения . Учитывая что при сдвиге происходит умножение на Z^-n получим бесконечный ряд: , который сходится при . Если рассматривать этот ряд как геометрическую прогрессию со знаменателем , то получим Z - преобразование скачка в виде: (19.3)

3.Экспоненциальная функция при подстановке в ряд (19.1) и использовании формулы суммы геометрической прогрессии даёт:

(19.4)

Свойства Z - преобразования обстоятельно исследованы и разработаны таблицы Z - преобразований для многих известных функций.

58. Свойства z-преобразования.

1. Линейность. Если {x_K} и {y_K} - две числовые последовательности, отображающие некоторые дискретные сигналы, причем известны соответствующие Z - преобразования X(Z) и Y(Z), то сигналу соответствует Z - преобразование справедливое при любых  и  и равное:

(19.7)

2. Z - преобразование смещенного сигнала. Рассмотрим дискретный сигнал {Y_K}, получившийся из дискретного сигнала {X_K} путем сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е. когда Y_K=X_K-1. Непосредственное вычисление Z - преобразования приводит к следующему результату:

(19.8)

Таким образом, умножение на Z^-1 характеризует задержку на один интервал дискретизации в Z - области.

3. Z - преобразование свертки. Пусть x(t) и y(t) - непрерывные сигналы, для которых определена свертка: (19.9)

По аналогии с этим выражением для дискретных сигналов можно записать выражение для дискретной свертки {f_K} - последовательность чисел, общий член которой:

(19.10)

Вычислим Z - преобразование дискретной свертки:

(19.11)

Итак, свертке двух дискретных сигналов соответствует произведение их Z - преобразований.

59. Алгоритмы бпф. Пример четырехточечной бпф.

Для вычисления преобразований Фурье обычно используется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), применение которого позволяет почти на половину сократить число перемножений при каждом разбиении числа отсчётов на две равные последовательности. С этой целью число отсчётов выбирается чётным и равным:

(18.14)

При разбиении N-точечной последовательности на две -последовательности, вместо (N-1)² перемножений требуется выполнить перемножений. Пояснить получающиеся при этом результаты можно с помощью следующего примера: разобьём исходную последовательность на чётную и нечётную совокупность отсчётов:

, где (18.15)

, где

Соответствующие им спектральные характеристики обозначим Х₁(К) и Х₂(К). Исходная сумма:

(18.12)

с учётом разбиения исходной последовательности x(n) на две может быть представлена в виде:

(18.16)

Поскольку (18.17)

То (18.18)

т.е. (18.19)

Используя свойство периодичности ДПФ (для функций Х₁(К) и Х₂(К) период равен ), функцию Х(К) можно доопределить формулой:

(18.20)

Поскольку при , то справедливо также

(18.21)

Рассмотрим пример четырехточечной БПФ. Допустим, имеем сигнал, описанный четырьмя отсчётами (N=4): ;

По установившейся терминологии говорят, что выполнено прореживание отсчётов по времени.

Запишем расчётные формулы:

(18.23)

Для расчёта по формулам 18.18 и 18.23 необходимо также иметь значения и .

Выполним вычисления: при К=0 ; ;

При К=1 ;

Теперь в соответствии с равенством 18.21 составим выражение для Х(К) при К=0,1,2,3 (формулы 18.21а) и б))

К=0; по формулам 18.21а)

К=1;

К=2; по формулам 18.21б)

К=3;

Рис. 18.3

На графе обозначение (стрелка) означает умножение величены а на .

Рис.18.4

О бозначение может означать: суммирование - если через кружок движение осуществляется по прямой (см.рис.18.4а)) или до кружка вниз после кружка вверх; вычитание - если до кружка вверх после кружка вниз.

Таким образом, действуя чисто формально совершенно не трудно получить любой из результатов, показанных на рис.18.3б).

Таким образом базовая операция алгоритма с прореживанием по времени (так называемая "бабочка" см.рис.18.4б)) состоит в том, что два входных числа А и В объединяются для получения двух входных чисел по правилу, показанному на рис.18.4б).