41. Приближенное представление сигналов рядом котельникова и ошибки аппроксимации.

Е сли известно, что большая часть энергии сигнала с неограниченным спектром сосредоточена в пределах ограниченной полосы частот, то с определенной погрешностью возможно представление таких сигналов с помощью ограниченного ряда Котельникова. Например, на рисунке показано представление прямоугольного импульса с помощью двух и трех отсчетов. В первом случае учитываются сигналы до частоты . Во втором случае до частоты . Соответствующие модели такого представления имеют вид:

. (1)

А во вором случае три отсчета:

. (2)

По формуле (1) построен график 1 на рисунке в и по формуле (2) – график 2.

С ростом числа отсчетов повышается точность аппроксимации сигнала рядом Котельникова.

Произвольный сигнал с неограниченным спектром при представлении его рядом Котельникова будет отличаться от сигнала с неограниченным спектром на величину ошибки. Поэтому, можно записать, что исходный сигнал

, (3)

где – сигнал с ограниченным спектром, – сигнал ошибки.

Спектры этих сигналов не перекрываются, поэтому сигналы и ортогональны. А их энергии, то есть квадраты норм, складываются: .

За абсолютную меру ошибки аппроксимации принимается расстояние, равное норме сигнала ошибки. Используя соотношения , , можно, при известном энергетическом спектре , по теореме Рейли получить:

. (4)

42. Узкополосный сигнал: представление в комплексной форме. Спектр сигнала.

Узкополосным называют сигнал, спектральная плотность которого сосредоточена в ограниченной полосе частот вблизи окрестности некоторой опорной частоты, причем выполняется условие . Математически такой сигнал может представляться разными моделями, например, или .

Или в общем случае для представления узкополосного сигнала используют линейную комбинацию:

. (1)

Функцию называют синфазной амплитудой, а функцию – квадратурной амплитудой. Обе эти функции представляют собой НЧ (по сравнению с ) сигнал. Узкополосные сигналы могут представляться и в комплексной форме:

. (2)

Величину (3) называют комплексной огибающей узкополосного сигнала. Не трудно показать, что вещественное представление (1) узкополосного сигнала связано с комплексным представлением соотношением:

. (4)

С физической точки зрения узкополосный сигнал можно рассматривать как квазигармоническое колебание, к которому для расчетов применим метод комплексных амплитуд. Комплексная огибающая узкополосного сигнала играет ту же роль, что и амплитуда простого гармонического колебания. Однако вектор в общем случае будет совершать колебания на комплексной плоскости, изменяясь по амплитуде и угловому положению.

Обозначим спектральную плотность комплексной огибающей . Тогда спектр узкополосного сигнала буде равен:

.

Так как , то . Тогда:

.

То есть, . (5)

Таким образом, спектральная плотность узкополосного сигнала может быть найдена путем простого переноса спектра комплексной огибающей из окрестности нулевой частоты в окрестность точек с частотами . Амплитудный спектр компонент вдвое меньше, чем у спектра огибающей, и спектр в области отрицательных частот получается комплексно сопряженным. Ценность полученного соотношения состоит в том, что спектр узкополосного сигнала (в частности модулированного сигнала) можно найти по спектру огибающей модулирующего сигнала.