15. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.
Определения.
Пусть функция
имеет в некоторой окрестности точки
производные до
-го
порядка включительно, тогда для любой
точки
,
принадлежащей этой окрестности,
справедлива формула
Тейлора
,
(1)
где функция
называется остаточным членом. Эта
функция может быть записана в разных
видах:
1) остаточный член в форме Коши
,
где
;
2) остаточный член в форме Лагранжа
,
где ;
3) остаточный член в форме Пеано
,
где символ «о» («о
малое») означает, что
.
В случае
формула
называется формулой Маклорена.
Если функция
имеет производные любых порядков в
окрестности точки
и остаточный член
стремится к нулю при
(т.е.
),
то формула Тейлора приводит к разложению
функции
в степенной ряд
,
(2)
называемый рядом Тейлора. Степенной ряд
называется рядом Маклорена.
16.Ряды Маклорена следующих функций
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
18. Ряд Фурье(определение ряда Фурье, теорема Дирихле)
Ряд Фурье —
представление произвольной функции 
с
периодом Т в
виде ряда
где
—
амплитуда k-го
гармонического колебания,
—
круговая частота
гармонического колебания,
—
начальная фаза k-го
колебания,
Тригонометрическим
рядом Фурье функции 
называют функциональный
ряд вида
|
(1) |
где
,
,
Числа 
, 
и 
(
)
называются коэффициентами
Фурье функции
.
Теорема Дирихле.
Пусть
функция
,
являющаяся периодической с периодом
,
на отрезке
удовлетворяет двум условиям:
1. кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;
2. кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.
Тогда тригонометрический ряд
,
(1)
где
,
сходится на отрезке
и при этом:
1. В точках непрерывности функции сумма ряда (1) совпадает с самой функцией ;
2. В каждой точке разрыва функции сумма ряда равна
т.е. равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа;
3. В точках
и
(на концах отрезка) сумма ряда равна
Замечание. Теорема Дирихле определяет достаточные, но не необходимые условия для сходимости тригонометрического ряда (1) к функции .
Представление функции в виде тригонометрического ряда
(2)
с указанными в
теореме коэффициентами
называется разложением функции
в ряд Фурье
(
- коэффициенты
Фурье
19. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Ряд Фурье для четных функций на отрезке /
Для четных функций
все коэффициенты
равны нулю и ряд Фурье приобретает вид
,
где
Ряд Фурье для нечетных функций на отрезке .
Для нечетных функций ряд Фурье имеет вид
,
где
.