20. Ряд Фурье для периодических функций с периодом 2l

Пусть - непериодическая функция, заданная на всей числовой оси , удовлетворяет на конечном отрезке условиям Дирихле. Поместим начало координат в середину отрезка и построим периодическую функцию с периодом такую, что

на отрезке . Разложим функцию на рассматриваемом отрезке в ряд Фурье

. (3)

Сумма этого ряда во всех точках интервала (кроме точек разрыва) совпадает с функцией . Вне этого отрезка сумма ряда (3) является функцией, отличной от функции .

21.Разложение функций только по синусам или только по косинусам

Рассмотрим непериодическую функцию , которую требуется разложить в ряд Фурье на отрезке . Такую функцию можно произвольным образом доопределить на отрезке , а затем периодически продолжить ее с периодом на всю числовую ось. Разложив полученную таким образом функцию в ряд Фурье, мы найдем искомый ряд для функции на отрезке .

При доопределении функции можно выделить два особых случая.

1. Функция доопределяется четным образом, т.е. при берется . В этом случае функция разлагается в ряд Фурье, содержащий только косинусы.

2. Функция доопределяется нечетным образом, т.е. при берется . В этом случае функция разлагается в ряд Фурье, содержащий только синусы.

Замечание. Ряд косинусов и ряд синусов для функции , определенный на отрезке , имеют одну и ту же сумму. Если - точка разрыва функции , то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому же числу:

22. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

Рассмотрим непериодическую функцию , определенную на всей числовой оси . Будем предполагать, что на любом конечном отрезке функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и что сходится несобственный интеграл

.

Для такой функции справедлива формула Фурье

.

где . Интеграл в правой части формулы Фурье называется интегралом Фурье. В отличие от ряда Фурье, где функция представляется суммой гармонических составляющих ( ), в интеграле Фурье производится интегрирование по непрерывной переменной .

Формулы и называют соответственно косинус-преобразованием и синус-преобразованием Фурье функции .

Интеграл Фурье можно записать в комплексной форме

, (1)

где

. (2)

(Выбрана симметричная форма записи). Формулу (1) называют преобразованием Фурье функции , а формулу (2) – обратным преобразование Фурье. Функция называется образом Фурье функции . Преобразование Фурье используется для гармонического анализа сигналов, содержащих все частоты излучения, т.е. в случае непрерывного спектра. Функция носит название спектральной плотности или спектральной функции.

23.Определение обыкновенного дифференциального уравнения и его решения (линейные уравнения, однородные и неоднородные уравнения, понятие интегральной кривой, общее и частное решение уравнения)