24. Дифференциальные уравнения первого порядка (задача Коши, теорема Коши, понятие изоклины и поля направлений)

Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией , разрешенное относительно производной , имеет вид

, (1)

где - заданная функция.

Теорема существования и единственности решения (теорема Коши). Если функция непрерывна в некоторой области, содержащей точку , то уравнение (1) имеет решение такое, что . Если, кроме того, непрерывна и частная производная , то это решение уравнения единственно.

Другими словами, если функция и ее первая частная производная непрерывны в некоторой области, содержащей точку , то решение задачи Коши

существует и единственно. (Условие часто называют начальным условием).

Совокупность направлений называется полем направлений дифференциального уравнения (1) и обычно изображается при помощи системы черточек или стрелок с углом наклона . Кривые , в точках которых наклон поля имеет постоянное значение, равное , называются изоклинами. Построение изоклин и поля направлений позволяет в простейших случаях приближенно нарисовать поле интегральных кривых, рассматривая последние как кривые, которые в каждой своей точке имеют заданное направление поля.

25.Решение дифференциального уравнения с разделенными переменными

Уравнением с разделенными переменными называется уравнение 1-го порядка вида

(2)

или

.

Выражение

является общим интегралом этого уравнения.

Заметим, что дифференциальное уравнение вида является частным случаем уравнения (2) ( ) и его решение дается интегралом

.

Дифференциальные уравнения вида

приводятся к уравнениям вида (2) при помощи замены , где - новая искомая функция.

26.Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение 1-го порядка вида

. (3)

Поделив это уравнение на произведение и проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (3)

.

27.Решение однородного дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией , разрешенное относительно производной , имеет вид

, (1)

где - заданная функция.

Уравнение (1) называется однородным уравнением, если функция может быть приведена к виду (или ). Однородное уравнение интегрируется с помощью перехода к новой неизвестной функции . Учитывая, что , находим уравнение, которому удовлетворяет функция

.

Очевидно, что уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными.

28. Линейные дифференциальные уравнения (метод Бернулли и метод Лагранжа (метод вариации постоянной)).

I. Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

, (1)

где и - непрерывные функции (в частности – постоянные).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным уравнением. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. В случае уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением.

Метод Бернулли. Решение уравнения (1) ищем в виде произведения функций . Подставляя это произведение в уравнение, получаем

.

Функцию находим из уравнения , а - из уравнения . Оба уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными.

Метод Лагранжа (метод вариации постоянной). Решение уравнения (1) этим методом начинается с решения однородного дифференциального уравнения . Очевидно, решение этого уравнения можно записать в виде , где С – постоянная интегрирования. Получив решение , окончательное решение уравнение (1) будем искать в виде , где функция находится из уравнения .