38. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Будем искать частные решения уравнения (2) в виде
,
где - некоторое произвольное число.
Подстановка решения в таком виде в уравнение (2) приводит к характеристическому уравнению, позволяющему найти число
.
(3)
Поскольку уравнение (3) является квадратным уравнением, возможны различные частные случаи.
Случай 1.
Корни
и
уравнения (3) действительные и различные:
.
В этом случае
частными решениями уравнения (2),
образующими фундаментальную систему,
будут функции
и
,
а его общим решением будет функция
.
Случай 2.
Корни
и
уравнения (3) действительные и равные:
.
В этом случае в
качестве фундаментальных решений
уравнения (2) следует взять функции
и
,
общим же решением будет функция
.
Случай 3.
Корни
и
уравнения (3) комплексные:
.
В этом случае
частными решениями уравнения (2),
образующими фундаментальную систему,
будут функции комплексного переменного
и
,
а его общим решением будет функция
.
Используя формулы Эйлера, можно перейти к фундаментальной системе функций действительного переменного
.
Тогда общее решение уравнения (2) запишется в виде
.
39. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (выбор частных решений для некоторых функций в правой части уравнений, метод вариации постоянных).
I. Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение
,
(1)
где
- постоянные,
- некоторая функция.
II. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно получить как сумму общего решения однородного уравнения и какого-либо решения неоднородного уравнения, т.е.
,
где
- фундаментальная система решений
однородного уравнения.
В некоторых
специальных случаях есть некоторые
правила поиска частного решения
(метод
неопределенных коэффициентов).
Случай 1.
,
где
- многочлен степени
.
А. Если не является корнем характеристического уравнения
, (2)
то частное решение следует искать в виде
,
где
- многочлен n-ой
степени с произвольными коэффициентами.
Б. Если
- корень уравнения (2) кратности
,
то частное решение
ищут в виде
.
Случай 2.
.
А. Если числа
не являются корнями характеристического
уравнения (2), то частное решение
следует
искать в виде
,
где
и
- произвольные постоянные.
Б. Если числа являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение ищут в виде
.
Замечание. В случаях
или
частное решение по-прежнему следует
искать в указанном полном виде.
Случай 3.
,
где
и
- многочлены степени m
и n,
соответственно.
А. Если
не являются корнями характеристического
уравнения (2), то частное решение
следует
искать в виде
,
где
и
- многочлены с произвольными коэффициентами
степени
.
Б. Если являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение ищут в виде
.
Для нахождения частного решения уравнения (1) в общем случае можно воспользоваться методом вариации постоянных (методом Лагранжа).
Рассмотрим общее решение однородного уравнения
.
Частное решение неоднородного уравнения (1) ищется в виде
,
где
и
- дифференцируемые функции, которые
находятся путем решения системы
дифференциальных уравнений
Замечание. Пусть
мы имеем уравнение
,
где
.
Если функции
и
являются решениями соответственно
уравнений
и
,
то функция
- решение уравнения
.