3.3. Геометрические приложения определенных интегралов

Пусть плоская фигура на отрезке [a,b] ограничена графиками двух функций y=f₁(x) и y=f₂(x), причем f₂(x)f₁(x) (см. рис.). Тогда искомая площадь вычисляется по формуле:

. (3.13)

Пример 3.14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж): .

Решение. Сделаем чертеж.

О пределим координаты точек пересечения параболы и прямой, для этого решим совместно уравнения

.

Площадь фигуры ограниченной двумя линиями, сверху графиком функции y₁(x), а снизу – графиком функции y₂(x), вычисляется следующим образом:

Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением: =(), , причем функция () непрерывна и неотрицательна на отрезке []. Плоскую фигуру, ограниченную кривой () и двумя лучами, оставляющими с полярной осью углы  и , будем называть криволинейным сектором.

Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:

. (3.14)

Пример 3.15. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж): .

Решение. Сделаем чертеж. Найдем область изменения исходной функции. Поскольку ²0, то cos20. Отсюда получаем

,

где kZ. Таким образом, данная кривая расположена в двух секторах.

Составим таблицу:

	0	/12	/8	/6	/4
2	1				3

После этого рисуем лучи по заданным углам к полярной оси и на них откладываем отрезки вычисленной длины. Далее плавно соединяем полученные точки. В результате должна получится фигура, расположенная в верхней полуплоскости.

Д ля нахождения искомой площади достаточно вычислить четверть площади, а затем умножить ее на 4. Из рисунка видно, что при изменении полярного угла от 0 до /4 соответствует четверть изменения площади. Тогда

.

4. Ряды

4.1. Числовые ряды

Пусть a₁, a₂, … , a_n + … – бесконечная последовательность чисел, тогда формально записанное выражение

называется числовым рядом. Слагаемые a₁, a₂, … называются членами ряда, а a_n – общим членом ряда.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел

, (4.1)

где – n-я частичная сумма ряда. S называется суммой ряда.

Необходимое условие сходимости ряда. Если числовой ряд сходится, то его общий член a_n стремится к нулю, т.е. .

Достаточное условие расходимости ряда. Если или этот предел не существует, то числовой ряд расходится.

Пример 4.1. Найти формулу общего члена ряда и проверить выполнимость необходимого условия сходимости для следующего ряда:

Решение. Запишем формулу общего члена ряда в виде

.

Как легко убедиться при n=1,2,3,4 будут получаться члены исходного ряда. Вычисляем предел

.

Таким образом, необходимое условие сходимости рядов не выполняется, следовательно, исходный ряд является расходящимся.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Первый признак сравнения. Если даны два ряда и , общие члены которых удовлетворяют соотношению , то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда и из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Второй (предельный) признак сравнения. Если даны два ряда и и существует конечный предел , отличный от нуля, то оба ряда сходятся и расходятся одновременно.

В качестве эталонного ряда часто берут ряд Дирихле , который сходится при >1, и расходится при 1.

Пример 4.2. Исследовать на сходимость следующий числовой ряд:

Решение. Рассмотрим ряд, полученный из старших членов числителя и знаменателя . Это будет ряд Дирихле с , который расходится. Применим предельный признак сравнения:

.

Поскольку эталонный ряд расходится, то и сравниваемый ряд также расходится.

Признак Даламбера. Пусть дан ряд и существует предел . Тогда если >1, то ряд расходится, если <1, то ряд сходится, если =1, то ряд может сходиться и расходиться, т.е. требуется применить другой признак сходимости.

Отметим, что, как правило, признак Даламбера применяется для рядов, содержащих факториалы. Факториалом называется выражение .

Пример 4.3. Исследовать на сходимость следующий числовой ряд:

Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Поскольку

, ,

.

Таким образом, исходный ряд является сходящимся.

Радикальный признак Коши. Пусть дан ряд и существует предел , тогда если >1, то ряд расходится, если <1, то ряд сходится, если =1, то ряд может сходиться и расходиться, т.е. требуется применить другой признак сходимости.

Пример 4.4. Исследовать на сходимость следующий числовой ряд:

.

Решение. Применим к данному ряду признак Коши. Используя второй замечательный предел, получим

.

Следовательно, исходный ряд является сходящимся.

Признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов. Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) , 2) , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена , т.е. .

Пример 4.5. Исследовать на сходимость числовой ряд:

.

Решение. Применим признак Лейбница. Для данного ряда

и выполняется условие , т.к. при больших n члены ряда a_n ведут себя как 2/n. Следовательно, исходный ряд является сходящимся.

Отметим, что соответствующий знакоположительный ряд

является расходящимся (его можно сравнить с расходящимся гармоническим рядом ). Такие ряды называются условно сходящимися.