Программа курса «Высшая математика» для экономических специальностей, раздел «Математический анализ»
1. Введение в математический анализ
Понятие функции одной переменной. Способы задания функции. Многозначные и однозначные функции. Область определения функции. Четные и нечетные, периодические и непериодические функции. Сложная функция. Композиция функций. Обратная функция.
Основные элементарные функции и их графики. Построение графиков элементарных функции при помощи линейных преобразований системы координат.
Понятие функции многих переменных. n-мерное координатное пространство. Область определения функции многих переменных.
Числовые последовательности. Способы их задания. Ограниченные и неограниченные последовательности. Монотонно возрастающие и убывающие последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства пределов.
Предел функции в точке. Определение. Предел функции в бесконечно удаленной точке. Геометрический смысл этого предела.
Бесконечно большие и бесконечно малые величины. Взаимосвязь этих величин и их свойства. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины и их применение для вычисления пределов.
Раскрытие неопределенностей вида
,
,
.Первый и второй замечательные пределы и их следствия.
Непрерывность функции одной переменной. Свойства непрерывных функций.
Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.
2. Дифференциальное исчисление
Производная функции одной переменной. Физический и геометрический смысл производной. Эластичность и ее свойства.
Производные основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Логарифмическое дифференцирование.
Производная функции многих переменных. Частные производные.
Производные высших порядков функций одной и нескольких переменных.
Производные сложных функций многих переменных.
Производные функций, заданных неявно параметрически.
Теоремы о среднем: Ролля, Лагранжа, Коши.
Дифференциал функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции нескольких переменных. Свойства дифференциалов. Применение дифференциала для приближенных вычислений и оценки погрешности вычислений. Дифференцируемость функций. Дифференциалы высших порядков.
Правило Лопиталя.
Необходимое условие экстремума функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Достаточные условия экстремума функции.
Наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.
Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба. Асимптоты функции. Вертикальные и наклонные асимптоты и способы их нахождения. Общая схема исследования функции и построения её графика.
3. Интегральное исчисление
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов
Метод замены переменной и метод подведения под знак дифференциала вычисления неопределенных интегралов.
Метод интегрирования по частям вычисления неопределенных интегралов.
Алгебра многочленов. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Разложение многочлена на линейные и квадратные множители.
Разложение рациональных дробей на сумму простейших дробей. Метод неопределенных коэффициентов.
Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование простейших дробей 1-го, 2-го и 3-го типа. Интегрирование простейших выражений, содержащих квадратный трехчлен.
Интегрирование в тригонометрических выражений вида R(sinx,cosx). Универсальная подстановка. Интегрирование тригонометрических выражений вида cosmxsinnx.
Интегральные суммы. Определение определенного интеграла. Физический, геометрический и экономический смысл определенного интеграла. Свойства определенных интегралов.
Формула Ньютона-Лейбница и её применение для вычисления определённых интегралов. Метод замены переменной в определенном интеграле. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.