Основные правила дифференцирования
1.
|
4.
|
2.
|
5.
|
3.
|
6.
|
,
,
,
,
,
,Таблица производных простейших элементарных функций
1.
|
5.
|
2.
|
6.
|
2а.
|
7.
|
2б.
|
8.
|
2в.
|
9.
|
3.
|
9а.
|
3а.
|
10.
|
4.
|
10а.
|
4а.
|
|
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,Пример 2.1. Найти производные dy/dx данных функций:
а)
,
б)
,
в)
.
Решение. а) При вычислении производной данной функции воспользуемся формулой (ua)'=aua–1u'. Тогда производная исходной функции найдется следующим образом:
.
б)
В данном случае воспользуемся правилом
дифференцирования частного:
.
В результате получим
.
в) Используя правило дифференцирования сложной функции, получим
.
При
вычислении производной сложно-показательной
функции
следует
функцию предварительно прологарифмировать,
а затем уже искать производную. Такой
приём называется логарифмическим
дифференцированием.
Пример 2.2. Найти производную:
.
Решение. При вычислении производной данной функции, прологарифмируем исходное выражение:
.
Теперь продифференцируем полученное выражение, учитывая, что y является функцией от x:
Отсюда
.
Если y как функция от x задаётся посредством уравнения
,
(2.2)
то
y
называется функцией
от x,
заданной
неявно.
Производная от такой функции может быть
найдена следующим образом. Находим
производную по x
от функции
,
учитывая при этом y=y(x)
как функцию от x,
и приравниваем её к нулю. Разрешаем
полученное уравнение относительно y;
в результате будем иметь выражение
производной от неявной функции в виде:
y=f(x,y).
Пример 2.3. Найти производную функции, заданной неявно:
Решение.
При вычислении производной от
неявно заданной функции следует
продифференцировать исходное уравнение
по x с учетом того, что
переменная y зависит
от x: y=y(x)
и
:
.
Сгруппируем слагаемые, содержащие y':
.
Отсюда находим
.
Пусть зависимость между x и y задана параметрически в виде двух уравнений
,
(2.3)
где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Производная от такой функции может быть найдена по формуле:
.
(2.4)
Пример 2.4. Найти производную функции, заданной параметрически:
Решение. Находим производные от функций x(t) и y(t):
.
Тогда
.
2.2. Производные функции нескольких переменных
Пусть
задана функция двух переменных
.
Так как x
и y
– независимые переменные, то одна из
них может изменяться, а другая сохранять
своё значение. Дадим независимой
переменной x
приращение x,
сохраняя значение y
неизменным. Тогда z
получит приращение, которое называется
частным
приращением
z
по x:
.
Если существует предел
,
то
он называется частной производной
функции
по переменной x
и обозначается одним из символов
.
Аналогично определяется и обозначается
частная производная от
по
переменной y.
Таким образом, частная производная нескольких –двух, трёх и больше, переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно x или y считается постоянной величиной).
Пример 2.5. Найти частные производные 1-го порядка:
а)
|
б)
|
в)
|
,
,
.Решение.
а)
б)
.
.
в)
При вычислении производной по x,
выражение в скобках будет константой.
Поэтому при вычислении производной по
x следует воспользоваться
формулой
:
.
При вычислении
производной по y,
выражение в показателе будет константой.
Поэтому при вычислении производной по
y следует воспользоваться
формулой
:
.