3. Интегральное исчисление

3.1. Неопределенные интегралы

Понятие интеграла, наряду с производной, является одним из основных в математическом анализе. Он играет большую роль в приложениях. Поэтому стоит более глубоко ознакомится с этим понятием по приведенной литературе.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на (a,b), если для любого . Если F₁(x) и F₂(x) две первообразные функции f(x), то , т.е. любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянную величину.

Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом , т.е.

. (3.1)

В этом равенстве f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.

Свойства неопределенных интегралов

1. ,	4. ,
2. ,	5. .
3. ,

Таблица простейших интегралов

1. ,	3. ,
2. , a1,	4. ,
2а. ,	4а. ,
2б. ,	5. ,
2в. ,	6. ,

7. ,	11. ,
8. ,	12. ,
9. ,	13. ,
10. ,	14. .

Пример 3.1. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

Решение. а) Используя свойства 3 и 4, получим

.

Далее, используя из таблицы интегралов формулы 2 и 4, находим

, .

Тогда

.

б) Используя свойство 5 и формулу 5, получим

.

в) Здесь используем формулу 3 с учётом свойства 5:

.

г) Запишем подынтегральную функцию следующим образом:

.

Тогда, с чётом формулы 12 и свойства 5, получаем

.

Метод замены переменной. Положим x=(t), где (t) – дифференцируемая функция. Учтём, что дифференциал вычисляется по формуле

.

Тогда справедлива следующая формула

. (3.2)

Пример 3.2. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод замены переменной:

а) б) .

Решение. а) При вычислении первого интеграла сделаем подстановку t=5–9lnx, в результате получим

.

б) При вычислении второго интеграла сделаем подстановку t=5+4x¹⁰, в результате получим

.

Метод интегрирования по частям. Если u(x) и v(x) – дифференцируемые функции, то справедлива формула

. (3.3)

Данную формулу интегрирования применяют обычно в тех случаях, когда функция u(x) упрощается при дифференцировании, а первообразная для функции v(x) легко находится.

Пример 3.3. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод замены переменной:

а) б) .

Решение. а) При вычислении первого интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

б) При вычислении второго интеграла также воспользуемся формулой интегрирования по частям. В результате получим

.

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется выражение

.

Если nm, дробь называется неправильной. Если n<m, дробь называется правильной. Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части (т.е. многочлена) и правильной дроби.

Пример 3.4. Вычислить интеграл:

.

Решение. Выделим целую и дробную части рациональной дроби, для этого разделим столбиком два многочлена (числитель на знаменатель):

–							x+2
–
–
–
							117

В результате получаем

.

Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей вида:

I. ,	III. ,
II. ,	IV. .

Чтобы правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших дробей, нужно сначала знаменатель разложить линейные и квадратичные множители вида (x+a) и . В зависимости от полученных множителей получается соответствующее разложение на сумму простейших дробей. Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

Пример 3.5. Вычислить интеграл:

.

Решение. Разложим подынтегральную функцию, т.е. правильную рациональную дробь, на сумму простейших дробей:

.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей:

.

Чтобы найти неопределенные коэффициенты A, B, C, придадим переменной x три каких-либо значения (обычно выбирают такие значения, чтобы получались нулевые значения в правой части):

Таким образом,

.

Далее вычисляем исходный интеграл как сумму интегралов от простейших дробей:

.

При вычислении интегралов вида

,

следует преобразовать подынтегральную функцию, используя различные тригонометрические формулы.

Если хотя бы одно из чисел m или n – нечётное положительное, то применяют подстановку cosx=t, если n – нечётное и sinx=t, если m – нечётное. При этом используется основное тригонометрическое тождество:

. (3.4)

Пример 3.6. Вычислить интеграл:

.

Решение. Применяем подстановку sinx=t, cosxdx=dt:

.

Если m или n – чётные положительные числа, то применяются тригонометрические формулы понижения степени:

. (3.5)

Пример 3.7. Вычислить интеграл:

.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом

.

Если m+n – чётное отрицательное число, то применяют подстановку или .

Пример 3.8. Вычислить интеграл:

.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом

.

При вычислении интегралов вида

,

следует преобразовать подынтегральную функцию, используя следующие тригонометрические формулы:

, . (3.6)

Пример 3.9. Вычислить интеграл:

.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом

.