23.Интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям

Пусть каждая из функций и дифференцируема на множестве и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции . Тогда на множестве существует первообразная и для функции , причем справедлива формула

. (1)

Доказательство. Воспользуемся формулой производной произведения двух функций

.

Умножим это равенство на и возьмем интеграл от правой и левой части

.

Так как , а интеграл существует , то существует и интеграл , причем

.

Учитывая, что , а , формулу (1) можно записать в виде

. (2)

Пример 1. Найти интеграл .

Применим формулу интегрирования по частям (4), полагая , , , . В результате получим

.

Пример 2. Найти интеграл .

Полагая в формуле интегрирования по частям (2) , , , получим

.

Для вычисления интеграла еще раз применим формулу (2) ( , , , ). В результате имеем

= .

Пример 3. Найти интеграл .

Пусть , . Тогда по формуле (2)

,

При вычислении интеграла снова используем формулу интегрирования по частям ( , )

.

В результате мы получили линейное алгебраическое уравнение относительно

.

Решая его, находим

.

Пример 4. Найти интеграл .

Пусть , . Тогда по формуле интегрирования по частям имеем

.

С помощью интегрирования по частям вычисляются интегралы следующих видов:

1) , , .

При вычислении этих интегралов следует положить . Поскольку , то в результате интегрирования по частям получатся интегралы вида

, , .

Применяя формулу интегрирования по частям раз придем к табличным интегралам

, , .

2) , .

Применяя дважды формулу интегрирования по частям , приходим к уравнению первого порядка относительно рассматриваемого интеграла. Решив это уравнение найдем искомый интеграл.

3) Подынтегральная функция содержит множитель: , , , .

В этом случае в формуле интегрирования по частям надо положить функцию , равной одной из указанных функций.

24.Определенный интеграл, его геометрический смысл.

Определение. Функция называется интегрируемой по Риману на отрезке , если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при . Указанный предел интегральных сумм называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается .

Итак

.

В записи определенного интеграла называют нижним пределом интегрирования, — верхним пределом интегрирования, — подынтегральной функцией, отрезок — интервалом интегрирования.

Из определения определенного интеграла следует, что для неотрицательных функций определенный интеграл является пределом при последовательности площадей рассмотренных выше ступенчатых фигур. Поэтому он равен площади фигуры, ограниченной графиком функции , отрезком оси и прямыми , . Позже мы докажем это утверждение более строго.