30.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Пусть
функция
определена на полупрямой
,
и для любого
существует определенный интеграл
.
Несобственным
интегралом первого рода называется
предельное значение функции
при
.
Для
несобственного интеграла используют
обозначение
.
Из определения несобственного интеграла
следует, что
.
(1)
Интеграл называют также интегралом с бесконечным верхним пределом.
Если
существует конечный предел
,
то несобственный интеграл
называется сходящимся, если нет — то
расходящимся.
Аналогично
определяется интеграл с бесконечным
нижним пределом
.
Пусть функция
определена на полупрямой
,
и для любого
существует определенный интеграл
.
Тогда
.
(2)
Определим
теперь несобственный интеграл вида
.
Пусть функция
определена на всей вещественной оси и
интегрируема на любом отрезке
.
Разобьем интеграл
на сумму двух интегралов
и
,
где
,
и перейдем к пределу при
и
.
Тогда
.
Отметим некоторые свойства несобственных интегралов.
1)Если
интеграл
сходится, то сходится и интеграл
,
где
— постоянная, отличная от нуля. Причем
справедливо соотношение
.
Если интеграл расходится, то расходится и интеграл ,
Действительно,
.
2)
Если сходится несобственный интеграл
,
то для любого
интеграл
также сходится и имеет место равенство
.
(4)
Действительно, так как
,
то
,
.
Отсюда следует справедливость формулы (4).
Пример
1. Рассмотрим
интеграл
,
(
).
Если
,
то
.
Заметим,
что
,
так как
.
Следовательно, при
рассматриваемый несобственный интеграл
сходится и равен
.
Если
,
то
.
Следовательно, несобственный интеграл
расходится.
Если
,
то
,
и несобственный
интеграл
также расходится.
Итак,
несобственный
интеграл
сходится при
и расходится при
.
Пример
2. Вычислить
несобственный интеграл
.
.
Пример
3. Установить
расходимость несобственного интеграла
.
.
Так
как предельного
значения
при
не существует, то несобственный интеграл
расходится.