7.Свойства непрерывных функций. Теоремы о непрерывных функциях

Теорема (об устойчивости знака непрерывной функции). Если функция непрерывна в точке , и если , то найдется такая -окрестность точки , что для всех значений аргумента из указанной -окрестности функция не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком .

Определение. Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой точке внутри отрезка, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Теорема (о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знака). Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой функция обращается в нуль ( ).

Из этой теоремы следует, что если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то уравнение имеет на этом отрезке хотя бы одно решение.

Теорема (о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем , . Пусть — любое число, заключенное между и . Тогда на отрезке найдется точка такая, что .

Прежде, чем сформулировать следующие теоремы напомним определение ограниченной функции.

Определение. Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве , если найдется такое вещественное число ( ), что для всех значений аргумента из множества справедливо неравенство ( ).

Определение. Функция называется ограниченной на множестве , если она ограничена на этом множестве сверху и снизу, то есть если найдутся такие вещественные числа и , что для всех значений аргумента из множества справедливы неравенства .

Заметим, что последнее неравенство можно заменить неравенством , где , и сформулировать следующее определение ограниченной функции: функция называется ограниченной на множестве , если найдется такое положительное вещественное число , что для всех значений аргумента из множества справедливо неравенство .

Функция имеет на множестве наибольшее значение, если найдется точка такая что для любого .

Функция имеет на множестве наименьшее значение, если найдется точка такая что для любого .

Теорема (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке и имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение.

Заметим, что если множество не является отрезком, то функция может быть неограниченной на рассматриваемом множестве и не иметь наибольшего или наименьшего значения.

Например, функция ограничена на отрезке ( ), имеет наибольшее значение и наименьшее значение . Однако эта функция будет неограниченной сверху на интервале (0,1) и на этом интервале у нее нет наибольшего значения Заметим также, что несмотря на то, что функция ограничена снизу ( для любого ) она не имеет наименьшего значения, так как 1 не принадлежит области значений функции на рассматриваемом интервале.

Экспоненциальная функция также ограничена на любом отрезке вещественной оси и имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, но на всей числовой прямой экспонента неограниченна сверху, следовательно, у нее не существует наибольшего значения. Снизу функция ограничена, так как , однако 0 не является наименьшим значением, так не принадлежит области значений функции (нет точки такой, что ).