13.Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

Понятие дифференциала функции

Пусть функция дифференцируема в точке , то есть ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде

. (1)

Заметим, что в этой формуле — это бесконечно малая при более высокого порядка, чем . Поскольку при является бесконечно малой того же порядка, что и , то говорят, что — это главная часть приращения функции.

Главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке , соответствующим приращению аргумента , и обозначается символом или .

Под дифференциалом независимой переменной можно понимать любое, не зависящее от , число. Обычно берут это число равным приращению независимой переменной. Тогда

. (2)

Если учесть, что , то формулу (2) можно переписать в виде

. (3)

Из последнего выражения следует, что производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента

.

Из формулы (3) также следуют правила вычисления дифференциалов, связанные с арифметическими действиями:

( — постоянная);

( — постоянная);

;

;

.

Геометрический смысл дифференциала функции

Рассмотрим график функции . Пусть точка на графике функции соответствует значению аргумента , а точка — значению аргумента . В точке проведем касательную к графику функции. Обозначим точку пересечения касательной и вертикальной прямой через . Проведем также прямую , параллельную оси . Заметим, что приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента , равно . Рассмотрим прямоугольный треугольник . Угол — это угол наклона касательной, следовательно, . Тогда , то есть дифференциал функции в точке равен приращению переменной на касательной, проведенной к графику функции в точке . Поскольку длины отрезков и различны, то . Однако при .

.

14.Производные и дифференциал высших порядков. Производные высших порядков

Пусть функция определена и дифференцируема на интервале . Тогда ее производная представляет собой функцию переменной также определенную на интервале . в свою очередь может оказаться дифференцируемой в некоторой точке интервала . Производную от функции называют второй производной (производной второго порядка) от функции и обозначают или . Итак,

.

Далее мы можем аналогично ввести понятие третьей производной, как производной от второй:

,

затем четвертой и т. д.

Предположим, что уже введено понятие производной -ого порядка, и что -я производная дифференцируема в некоторой точке интервала , то есть имеет производную в данной точке. Тогда эту производную называют производной -ого порядка функции и обозначают символами или . Соотношение, определяющее -ю производную имеет вид

.

Определение. Функция, имеющая на данном множестве , конечную производную порядка называется раз дифференцируемой на данном множестве.

Пример. Найти -ю производную степенной функции .

По формуле производной степенной функции имеем

,

,

.

Предположим, что -я производная задается формулой

, (1)

где произведение содержит сомножителей. Тогда

,

то есть формула для -ой производной имеет тот же вид, что и формула для -ой производной. Следовательно, по принципу математической индукции формула (1) справедлива для любого значения .

В частном случае , где — натуральное число, получим

, (2)

где — это произведение натуральных чисел от 1 до , называемое факториалов, то есть

. Например,

,

.

Заметим, что считают равным 1. Для факториалов справедливо рекуррентное соотношение

Поскольку производная порядка функции не зависит от , то из формулы (2) следует, что , и все производные порядка также равны 0.