1. Статистическая обработка данных

1.1. Постановка задачи. Цель работы. Исходные данные

1) Постановка задачи

По выборке объёма N провести статистическую обработку результатов эксперимента.

2) Цель работы

Изучить и усвоить основные понятия математической статистики. Овладеть методикой статистического оценивания числовых характеристик случайной величины и нормального закона распределения. Ознакомиться с методикой применения статистических критериев для проверки гипотез.

3) Исходные данные

Проведен эксперимент, в результате которого была получена выборка N = 60, которая соответствует случайной величине, распределённой по нормальному закону. Эта выборка изложена в следующей таблице.

Выборка

9,8683	8,1952	8,2473	8,2542	8,6903	7,4781	9,8265	8,3870
9,9597	10,9730	9,2950	8,6073	9,5759	7,8586	9,0611	9,0123
8,8319	8,3127	8,0093	8,9502	9,7193	8,7169	7,5750	9,4615
10,0915	7,9557	6,1572	9,9968	9,0765	7,1333	8,3864	10,1694
8,4250	8,7352	9,0047	8,9606	8,4946	7,8422	9,7104	9,7282
9,8669	11,4316	9,1102	9,0264	9,9703	8,9947	10.4095	10,7579
9,8850	10,1409	9,4032	9,1910	8,3064	9,0110	7,8944	10,9080
8,8346	8,2676	8,0093	9,8943

1.2. Вычисление основных выборочных характеристик по заданной выборке

1. среднее арифметическое случайной величины Х (N = 60)

2) среднее линейное отклонение

3) дисперсия случайной величины Х

4) несмещенная оценка дисперсии

5) среднеквадратическое отклонение

6) несмещенная выборочная оценка для среднеквадратического отклонения

7) коэффициент вариации

8) коэффициент асимметрии случайной величины Х

9) коэффициент эксцесса случайной величины Х

10) вариационный размах

R = X_max – X_min = 11,4316 – 6,1572 = 5,2744

На основании полученных вычислений можно сделать следующие выводы:

1. необходимое условие для того, чтобы выборка имела нормальный закон распределения, выполняется, т.к. для коэффициента вариации V выполняется неравенство:

V = 11,0914 % < 33%

Отсюда следует, что не все выборочные значения случайной величины Х положительны, что мы и видим в исходных данных.

2. для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса должны быть равны нулю, т.е. As = E = 0.

По результатам вычисления асимметрия меньше нуля и составляет As = -3,55804.

В нашем случае асимметрия отрицательна, это значит, что «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. Коэффициент эксцесса в отличие от коэффициента асимметрии можно считать близким к нулю, так как Е = 0,07238. Он положительный, значит, кривая имеет более высокую и острую вершину, чем нормальная кривая.

В связи с этим необходимы дополнительные исследования для выяснения степени близости распределения выборки к нормальному распределению.

3. Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии.

Для вычисления интервальной оценки математического ожидания воспользуемся формулой:

Где а = М[X] – математическое ожидание

N – 1 = V = 59 – число степеней свободы

t_v;p – величина, численно равная половине интервала, в который может попасть случайная величина , имеющая определенный закон распределения при заданной доверительной вероятности Р и заданном числе степеней свободы V.

Подставляем в формулу вычисленные ранее значения , и N.

Задаемся доверительной вероятностью:

Р₁ = 0,95 Р₂ = 0,99

Для каждого значения Р_i (i=1,2) находим по таблице значения t_59;p и вычисляем два варианта интервальных оценок для математического ожидания.

При Р₁ = 0,95 t_59;0,95 = 2

При Р₂ = 0,99 t_59;0,95 = 2,66

Для интервальной оценки дисперсии существуют неравенства:

Поставляем в неравенство известные значения и N, получим неравенство, в котором неизвестны и .

Задаваясь доверительной вероятностью Р_i (или уровнем значимости а) вычисляем значения и . Используем эти два значения и степень свободы V = N – 1 = 59, по таблице находим и .

= = = =

и - это границы интервала, в который попадает случайная величина Х, имеющая (хи-квадрат) распределение вероятности Р_i и заданной степени свободы V (V=59).

Д ля Р₁ = 0,95 и

находим по таблице: = = 40,4817

= = 83,2976

Поставляя в неравенства и и, вычисляя, получим интервальную оценку.

П ри Р₂ = 0,99 и

находим по таблице: = = 35,5346

= = 91,9517

Поставляя в неравенства и и, вычисляя, получим интервальную оценку.

Для интервальной оценки среднеквадратического отклонения имеем:

При Р₁ = 0,95

При Р₂ = 0,99

1.4. Результаты ранжирования выборочных данных и вычисление моды и медианы

Используя исходные данные, записываем все заданные значения выборки в виде неубывающей последовательности значений случайной величины Х. Данный ранжированный ряд представлен в таблице 4.1.

Таблица 4.1.

Ранжированный ряд

1	6,1572	11	8,1952	21	8,6073	31	9,011	41	9,5759	51	9,9703
2	7,1333	12	8,2473	22	8,6903	32	9,0123	42	9,7104	52	9,9968
3	7,4781	13	8,2542	23	8,7169	33	9,0264	43	9,7193	53	10,0915
4	7,575	14	8,2676	24	8,7352	34	9,0611	44	9,7282	54	10,1409
5	7,8422	15	8,3064	25	8,8319	35	9,0765	45	9,8265	55	10,1694
6	7,8586	16	8,3127	26	8,8346	36	9,1102	46	9,8669	56	10,4095
7	7,8944	17	8,3864	27	8,9502	37	9,191	47	9,8683	57	10,7579
8	7,9557	18	8,387	28	8,9606	38	9,295	48	9,885	58	10,908
9	8,0093	19	8,425	29	8,9947	39	9,4032	49	9,8943	59	10,973
10	8,0093	20	8,4946	30	9,0047	40	9,4615	50	9,9597	60	11,4316

Интервал [6,1572; 11,4316], содержащий все элементы выборки, разбиваем на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджеса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджеса длина частичного интервала равна:

Для удобства и простоты расчетов выбираем h = 0,76 и вычисляем последовательно границы интервалов.

За начало первого интервала принимаем значение:

Далее вычисляем границы интервалов.

= 6,1572 + 0,76 = 6,9172

= 6,9172 + 0,76 = 7,6772

= 7,6772 + 0,76 = 8,4372

= 8,4372 + 0,76 = 9,1972

= 9,1972 + 0,76 = 9,9572

= 9,9572 + 0,76 = 10,7172

= 10,7172 + 0,76 = 11,4772

= 11,4772 + 0,76 = 12,2372

Вычисление границ заканчивается, как только выполняется неравенство X_n > X_max, то есть X₈ = 12,2372 > X_max = 11,4316.

По результатам вычислений составляем таблицу. В первой строке таблицы помещаем частичные интервалы, на второй строке – середины интервалов, в третьей строке записано количество элементов выборки, попавших в каждый интервал – частоты, в четвертой строке записаны относительные частоты и в пятой строке записаны значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности. Значения выборочной функции плотности представлены в таблице 4.2.

По результатам вычислений функции плотности, представленной в Таблице 4.2., можно сделать вывод, что мода имеет 1 локальный максимум в окрестности точки х =8,8172 и с частотой по n = 17

Оценку медианы находим, используя вариационный ряд:

Так как N = 2k, k = N / 2 = 60 / 2 = 30

Сравнение оценок медианы и оценки математического ожидания показывает, что они отличаются на 2,63%.

Таблица 4.2.

Значение выборочной функции и плотности

H		ni
[6,1572; 6,9172)	6,5372	1	0,01666	0,0219
[6,9172; 7,6772 )	7,2972	3	0,05	0,0658
[7,6772; 8,4372 )	8,0572	15	0,25	0,3289
[8,4372; 9,1972 )	8,8172	17	0,2833	0,3728
[9,1972; 9,9572)	9,5772	13	0,2166	0,2851
[9,9572; 10,7172)	10,3372	7	0,1166	0,1535
[10,7172; 11,4772 )	11,0972	4	0,0666	0,0877
[11,4772; 12,2372 )	11,8572	0	0	0