1.5. Параметрическая оценка функции плотности распределения

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон распределения, найдем параметрическую оценку функции плотности, используя формулу для плотности распределения вероятности нормального закона:

Где и известны – они вычисляются по выборке.

= = 9,034125

Значения этой функции вычисляются для середины частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при х = . На практике для упрощения вычислений функции , где i = 1,2,…, k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины.

Для этого вычисляем значения для i = 1,2,…, k, затем по таблице находим значение .

= 0,0171

= 0,0863

= 0,2468

= 0,3894

= 0,3429

= 0,1691

= 0,0459

= 0,0071

И после вычисляем функцию:

0,017210 0,345099

0,086854 0,170184

0,248383 0,046194

0,391898 0,007146

Функция , вычисленная при заданных параметрах и в середине частичного интервала, фактически является теоретической относительной частотой, отнесенной к середине частичного интервала.

Поэтому для определения теоретической частоты , распределенной по всей ширине интервала, эту функцию необходимо умножить на .

где h = 0,76

где N = 60

Результаты вычислений вероятностей и соответствующих частот приведены в таблице 5.1.

0,99976

Из результатов вычислений следует, что сумма вероятностей в интервале [6,1572; 12,2372) не равна единице. Это объясняется тем, что мы вычисляем вероятности в интервале, где заданы экспериментальные данные.

Сравнение экспериментальных и теоретических частот по критерию Пирсона с целью проверки гипотезы о нормальном распределении возможно только в том случае, если для каждого частичного интервала выполняется условие . Результаты вычислений, приведенные в Таблице 5.1 показывают, что это условие выполняется не везде. Поэтому те частичные интервалы, для которых частоты , объединяем с соседними. Соответственно объединяем и экспериментальные частоты .

Таблица 5.1.

Результаты вычисления экспериментальных и теоретических вероятностей и частот

[xi-1; xi)
[6,1572; 6,9172)	1	6,5372	0,01666	0,0219	-2,51	0,017210	0,013080	0,7848
[6,9172; 7,6772 )	3	7,2972	0,05	0,0658	-1,75	0,086854	0,066009	3,96054
[7,6772; 8,4372 )	15	8,0572	0,25	0,3289	-0,98	0,248383	0,188771	11,32626
[8,4372; 9,1972 )	17	8,8172	0,2833	0,3728	-0,22	0,391898	0,297842	17,87052
[9,1972; 9,9572)	13	9,5772	0,2166	0,2851	0,55	0,345099	0,262275	15,7365
[9,9572; 10,7172)	7	10,3372	0,1166	0,1535	1,31	0,170184	0,129340	7,76040
[10,7172; 11,4772 )	4	11,0972	0,0666	0,0877	2,08	0,046194	0,035107	2,10642
[11,4772; 12,2372 )	0	11,8572	0	0	2,84	0,007146	0,005431	0,32586
Σ	60	73,5776	0,99976	1,3157	1,32	1,312968	0,997856	59,8713

Рис. 1.5.1. Теоретическая и экспериментальная функции плотности

вероятностей

1. 6. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:

Статистика имеет распределение с V = k – r – 1 степенями свободы, где k – число интервалов эмпирического распределения, r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Для нормального распределения число степеней свободы равно:

V = k – 3

В теории математической статистики доказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие неравенства:

N ≥ 50 ≥ 5 где i = 1,2,3…

Из результатов вычислений, приведенных в таблице 5.1 следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, т.к. в некоторых группах < 5. Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп, при этом частоты объединенных групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами < 5 до тех пор, пока для каждой новой группы будет выполняться условие ≥ 5.

При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы V = k – 3 в качестве k принимают новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот для таблицы 5.1 приведены соответственно в таблице 6.1.

Результаты вычислений из таблицы 6.1 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Процедура проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х выполняется в следующей последовательности:

1. задаются уровнем значимости а = 0,05 или одним из следующих значений: а₁ = 0,01 а₂ = 0,1 а₃ = 0,005

2. вычисляют наблюдаемые значения критерия, используя экспериментальные и теоретические частоты из Таблицы 6.1.

3. для выборочного уровня значимости а = 0,05 по таблице распределения находят критические значения при числе степеней свободы V = k – 3, где k – число групп эмпирического распределения.

4. сравнивают фактически наблюдаемое с критическим , найденным по таблице, и принимаем решение:

   • если > , то выдвинутая гипотезы о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости.

   • Если < , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, т.к. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).

Таблица 6.1.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот

[6,1572; 8,4372)	0,26786	16,0716	19	8,57553	0,533583
[8,4372; 9,1972)	0,297842	17,87052	17	0,757805	0,042405
[9,1972; 9,9572)	0,262275	15,7365	13	7,48843	0,475864
[9,9572;12,2372)	0,169878	10,19268	11	0,65177	0,063945
Σ	0,997856	59,8713	60	17,473535	1,115796821

При выбранном уровне значимости а = 0,05 и числе групп k = 4, число степеней свободы V = 1.

По таблице для а = 0,05 и V = 1 находим =3,84146.

В результате получаем:

Для =1,1157968, которое нашли по результатам вычислений, приведенных в Таблице 6.1, имеем:

= 1,1157968< = 3,84146

Следовательно, выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдения при заданном уровне значимости, и нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х.