Импеданс.

Рассмотрим некоторую разветвлённую цепь содержащую .

- комплексная запись.

Пусть , тогда . Т.к. токи квазистационарны то для них применимы законы Ома для мгновенных значений переменных величин. Выберем направление обхода по току. Применим закон Ома для Разорванной цепи:

,

где - разность потенциалов между положительной и отрицательной обкладками - . Тогда:

.

Дифференцируя данное выражение по времени, мы получим следующее соотношение:

.

Это уравнение вынужденных колебаний, где - ток в нашей цепи. Если нас интересует установившийся режим колебаний, то в цепи в результате возникают колебания с частотой вынуждающей силы. Тогда, подставим в полученное уравнение следующие выражения:

Тогда:

,

.

Откуда , где - комплексное сопротивление или импеданс.

- индуктивный импеданс.

- ёмкостной импеданс.

В результате для комплексной амплитуды тока получим следующие выражение:

,

где , - фаза тока по отношению к напряжению. Т.к. , то (где обе части надо брать с учётом знака).

Правила Кирхгофа для разветвлённой цепи.

Рассмотрим три узла в которых сходятся по три провода.

- узлы, - ветви. Пусть в любой из трёх ветвей находятся сопротивления, ёмкости, катушки и ЭДС. Узлы обладают нулевой ёмкостью, т.е. 1-ое правило Кирхгофа для постоянных токов справедливо и для переменных токов, т.е. . Но из равенство нулю суммы мгновенных токов следует равенство нулю суммы их комплексных амплитуд:

-

первое правило Кирхгофа для переменных токов.

Аналогично доказывается второе правило Кирхгофа для переменных токов:

.

Запись законов Кирхгофа в комплексной форме аналогична обычным.

Метод контурных токов.

Элементарный контур – контур, который нельзя получить наложением других контуров.

Рассмотрим схему:

В данной схеме можно выделить три элементарных контура. Будем считать, что по каждому элементарному контуру течёт одинаковый ток. Будем также считать, что все токи текут в одном направлении.

Метод контурных токов позволяет сократить число уравнений на количество узлов.

Составим следующую систему:

.

Где: - полный импеданс данного контура – сумма импедансов входящих в данный контур ( ); - импеданс на соприкасающихся ветвях взятый с обратным знаком ( ).

Тогда решением этой системы уравнений относительно неизвестных токов будут:

.

Тогда ток через конкретный импеданс будет равен сумме токов в элементарных контурах в которые он входит взятые с учётом выбора направления обхода, т.е.:

, .

Резонансы в цепях переменного тока.

Резонанс напряжений. Рассмотрим схему:

Найдём ток текущий в цепи. По закону Ома для цепей с переменным током имеем:

.

Откуда имеем следующее выражение для амплитуды тока: .

Очевидно, что максимальная амплитуда тока будет при минимальности знаменателя, т.е. при . Т.о. - резонансная частота. При резонансной частоте , а .

При .

При .

Т.о. при ток будет отставать от ЭДС, но при ток будет опережать ЭДС.

Вид зависимости амплитуды тока от частоты вынуждающей силы.

Резонанс токов.

Рассмотрим контур.

Пусть . Тогда Имеем для тока текущего через ЭДС:

,

.

Мнимая часть амплитуды тока будет равна нулю при . При этом условии данная катушка обладает чисто омическим сопротивлением т.е. и находятся в фазе, т.е. имеет место быть резонанс (так говорят в схемотехнике).

.

При резонансе токов ток через генератор минимален.

В очередной раз рассмотрим следующий контур

Стрелка указывает направления ЭДС в начальный момент времени.

Изобразим на одном графике зависимости напряжений на сопротивлении, катушке и конденсаторе в зависимости от частоты подаваемого напряжения .

На всех трех графиках возникает максимум при частоте близкой к резонансной .

Теперь рассмотрим следующую схему:

Ранее нами уже было получено выражение для комплексной амплитуды силы тока в цепи .

Видим, что при условии данная цепочка будет обладать чисто омическим сопротивлением. Ток и ЭДС находятся в фазе. В этом случае говорят о резонансе токов. В случае эту резонансную частоту можно приближенно считать равной . Но истинная резонансная частота зависит от добротности , где . Найдем значения токов в ветвях контура при резонансной частоте. .

Рассмотрим случай , тогда . Полный ток в цепи равен нулю. При этом ток в цепи с конденсатором не нулевой. и опережает ЭДС по фазе на . Ток в ветви с катушкой отстает от ЭДС на . Токи через катушку и конденсатор совпадают по амплитуде, но противоположно направлены.

В идеальном контуре токи в ветвях с конденсатором и индуктивностью достигают достаточно больших значений и протекают в противоположных направлениях. Начальная энергия, которой обладает колебательный контур при резонансе, была получена сразу после замыкания ключа в процессе установления.

Проиллюстрируем на векторных диаграммах случаи резонанса напряжений.

П одаваемое на цепочку напряжение равно сумме напряжений на конденсаторе, сопротивлении и индуктивности . Каждой из этих комплексных величин ставится в соответствие вектор на комплексной плоскости , , . Цепь не разветвленная, значит, во всех элементах цепи течет одинаковый ток.

Пусть начальная фаза тока равна нулю и . Если величина достаточно мала, то величина тоже мала. При увеличении вектор будет разворачиваться, и при совпадении с направлением наступит резонанс.

Построим векторную диаграмму токов при нулевом сопротивлении. За нуль возьмем фазу ЭДС . Учтем, что по первому правилу Кирхгофа, сумма токов равна нулю .

При резонансе .

Если сопротивление не равно нулю, то получим следующую диаграмму токов.