Мощность в цепях переменного тока.

Рассмотрим конденсатор. Напряжение на конденсаторе в случае переменного тока можно записать . Внутри конденсатора существует электрическое поле . Усредним значение электрического поля по времени. .

Мгновенная мощность выделяемой на конденсаторе энергии есть скорость приращения энергии электрического поля .

Мгновенная мощность, выделяемая на конденсаторе, меняет свой знак. Если синус больше нуля, энергия конденсатора убывает – часть запасенной энергии конденсатор отдает остальной цепи и частично генератору. Если синус меньше нуля, энергия конденсатора возрастает. Заметим, что средняя мощность, выделенная на конденсаторе равна нулю ! Аналогично можно рассмотреть превращение магнитного поля катушки , .

Рассмотрим омическое сопротивление. Независимо от направления движения тока в цепи происходит выделение Джоулева тепла. В этом случае, энергия, которую поставляет генератор теряется бесполезно. . Пусть , тогда

Если рассмотреть любую сложную цепь, то полная мощность, развиваемая генератором равна сумме мощностей выделенных на отдельных элементах цепи.

Мгновенная мощность, выделяемая на генераторе равна произведению тока и напряжения на генераторе. Пусть ток и напряжение на генераторе зависят от времени следующим образом , , тогда

Проведем усреднение по периоду .

Опять рассмотрим следующую схему

Д окажем, что средняя за период мощность, выделяемая на генераторе равна Джоулевому теплу.

Импеданс нашей цепи имеет вид , значит . Учтем, что .

Теперь подставим и в выражение для средней мощности генератора. .

Иногда вводят понятие активной и реактивной мощности.

Примем начальную фазу тока через генератор равной нулю.

, , , где - реактивное сопротивление (сумма индуктивного и емкостного сопротивления).

Попытаемся определить мощность.

Мощность – произведение тока и напряжения - произведение двух комплексных чисел. При умножении комплексных чисел их реальные и мнимые части перепутываются. Но первый и второй законы Кирхгофа - операции сложения. Чтобы реальные токи можно было заменять комплексными, и их мнимые и действительные части не перепутывались, при определении мощности мы должны выделить действующие части тока и напряжения.

Пусть , тогда

Слагаемое называется активной мощностью и измеряется в (Вт). Слагаемое называется реактивной мощностью и измеряется в (ВАР).

Средняя за период мощность, выделяемая на генераторе равна активной мощности . Средняя за период реактивная мощность равна нулю.

Колебания систем с двумя степенями свободы. Связанные маятники.

1) Рассмотрим систему, состоящую из двух математических маятников, которые связаны идеальной, невесомой пружиной. Длина нити обоих маятников , массы и соответственно, жесткость пружины .

Каждый маятник совершает движение по окружности, поэтому запишем уравнение моментов.

.

Колебания малы, тогда:

.

.

Переобозначив коэффициенты при углах, получим:

.

Таким образом, колебания связанных маятников описываются системой дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

2) Рассмотрим два индуктивно связанных колебательных контура (аналог связанных маятников).

Получили аналогичную систему уравнений.

.

Решение данной системы будем искать в виде:

Биквадратное уравнение. В общем случае есть четыре решения. Физически реальных решений будет два: и .

Решений бесконечно много.

Одно из решений системы. Их бесконечно много с точностью до .

Запишем общее решение уравнений.

Движение маятника представляет собой суперпозицию двух гармонических колебаний с разными частотами. Следовательно, колебания негармонические.

Пусть маятники будут одинаковыми

Пусть мало, тогда

.

То есть, при слабой связи, складываются колебания с очень близкими частотами, получаются биения.