Волновое уравнение.

Волновое уравнение вывести нельзя – оно фундаментально, это из него все получаются уравнения различных волн.

Попробуем угадать вид волнового уравнения. Для этого запишем уравнение плоской волны и продифференцируем его дважды по времени и координате.

, ,

, .

Из этих уравнений видно, что или , где - фазовая скорость.

Обобщим и в другом виде запишем , где - оператор Лапласа от S.

Докажем, что любая функция вида является решением уравнения .

, ,

, теперь сразу видно, что для любой функции вида .

Продольные волны в упругой среде.

Если для волны нам удастся записать уравнение вида , то в этом выражении величина, стоящая перед равна квадрату фазовой скорости.

В качестве примера найдем выражение для скорости звука в теле. Будем считать, что волны распространяются вдоль оси Х. Выберем цилиндр высотой

Если стукнуть молотком, объемчик будет деформироваться, дрожать, будет переноситься фаза. Пусть за время объемчик сместится целиком на величину и на величину деформируется. Запишем уравнение движения в данном случае. Пусть масса объемчика не меняется .

Относительное изменение длинны объемчика равно . Тогда закон Гука запишется так: , . Сила, действующая на весь объемчик равна .

Это при условии . Теперь запишем II закон Ньютона: .

Волны в газах и жидкостях. Волновое уравнение. Скорость звука.

Газ обладает упругостью. В твердом теле могут возникать нормальные и касательные напряжения, поэтому возможны волны продольные и поперечные.

В газах (жидкостях) нет касательных напряжений, и волны могут быть только продольные. Волны в газе (жидкости) представляют собой чередующиеся и распространяющиеся сжатия и разрежения.

Упругие продольные волны с частотой 20 – 20 000 Гц – звук, с частотой < 20 Гц – инфразвук, с частотой > 20 000 Гц – ультразвук.

Получим волновое уравнение.

Будем считать газ некоторой сплошной упругой средой с равновесными характеристиками: .

Важные свойства:

1) При относительном смещении разных слоев газа возникают сжатия и разряжения.

2) Процессы сжатия и разряжения сопровождаются изменением давления (при сжатии давление повышается, при разряжении - снижается).

Неравенство давления приводит к макроскопическому движению. .

В этом случае возникнет одномерная продольная волна. Сжатие и разряжение приводит к изменению давления, оно зависит от плотности и температуры. Если газ идеальный то

Буден считать, что давление будет однозначной функцией плотности. Основание: отклонение от положения равновесия мало, тогда:

Случай А. Процессы сжатия и разряжения происходят достаточно медленно, поэтому температуры в разных слоях газа успевают выравниться, тогда процесс сжатия и разряжения можно считать изотермическим.

Случай Б. Теплопроводность газа крайне мала, процессы сжатия и разряжения происходят достаточно быстро, поэтому эти процессы можно считать адиабатическими, и изменения температуры будет локальным и тоже зависит от плотности.

И в случае Б давление является однозначной функцией плотности.

Это два предельных случая, рассматриваемый нами случай находится между этими случаями.

Выберем некоторый цилиндрический объем.

Масса газа, находящегося в этом объеме, равна:

Конечно, происходит обмен веществом между объемом и окружающим пространством, но в среднем масса этого элемента остается постоянной.

Пусть происходит отклонение от равновесного положения, давление отклонилось от равновесного значения.

– смещение левой границы.

по сравнению с характерными размерами области сжатия и разряжения.

При этом предположении разница давлений слева и справа будет зависеть только от . Масса слоя не измениться.

– отклонение от равновесия в окрестности в заданный момент времени.

Случай А.

Случай Б.