2.4. Аксиома об операторе физической величины

Частное рассмотрение предыдущего параграфа позволяет теперь сформулировать очередную аксиому квантовой механики – аксиому об операторе физической величины. Теперь она не прозвучит неожиданно, а лишь явится обобщением (2.4.1).

Аксиома о физическом операторе. Каждой физической величине в квантовой механике сопоставляется некоторый физический оператор , такой, что среднее значение физической величины вычисляется по формуле

(2.4.1)

Интегрирование ведется по всему конфигурационному пространству.

Необходимо позаботиться о непротиворечивости новой аксиомы предыдущим. Что касается постулата о статистическом смысле волновой функции и принципа суперпозиции, то там такого вопроса не возникает, ибо, как стало ясно впоследствии, они предполагают друг друга. В связи с этим достаточно потребовать непротиворечивости (2.4.1), скажем, принципу суперпозиции. Оператору в общем случае предстоит иметь дело с суперпозиционными состояниями и, чтобы его действие не изменяло статистических весов, необходимо потребовать

(2.4.2)

т.е. оператор как бы пропускает через себя константы, не обращая на них внимания. Такие операторы известны в математике как линейные операторы. Итак, из непротиворечивости аксиомы о физическом операторе принципу суперпозиции следует линейность физических операторов.

Обращаясь к сущности физической величины, заметим, все физические величины действительны, и, следовательно, действительны их средние значения. В соответствии с (2.4.1) можно записать

(2.4.3)

В математической теории линейных операторов доказывается, что каждому линейному оператору можно сопоставить некоторые транспонированный оператор , такой, что

(2.4.4)

Заметим, что функции и в интегралах (2.4.4) находятся на противоположных местах, т.е. транспонированы. При доказательстве (2.4.4) предполагается сходимость интегралов (2.4.4) и конечность подынтегрального выражения.

Очевидно, что соотношение (2.4.4) более общее, чем (2.4.3). Соотношение (2.4.4) переходит в (2.4.3), если потребовать

(2.4.5)

при . Равенство (2.4.5) следует понимать как эквивалентность действия операторов и на функцию. Общепринято в операторных соотношениях не писать функции, на которую она действует, молчаливо имея в виду, что роль оператора в том и заключается, чтобы действовать на функцию.

Перейдем в (2.4.5) к комплексно сопряженному выражению:

(2.4.6)

Оператор, , получаемый из транспонированием и комплексным сопряжением, называют эрмитово сопряженным к исходному . Таким образом, из действительности физических величин мы приходим к соотношению

(2.4.7)

Когда эрмитово сопряженный оператор равен исходному, оператор называется эрмитовым (действительным), т.е. физические операторы эрмитовы (действительны).

Окончательно можно утверждать, что операторы физических величин линейны (из непротиворечивости принципу суперпозиции) и эрмитовы (в связи с действительностью физических величин).

Впоследствии понадобится действовать на функцию двумя или более физическими операторами, например, Отметим, что в общем случае результат зависит от порядка действия оператора. Поэтому условимся, что первым действует на функцию тот оператор, который стоит к ней ближе, затем следующий и т.д. Выясним, будут ли эрмитовы произведения двух эрмитовых операторов. Иначе, любое ли произведение двух физических величин в квантовой механике может претендовать на роль физической величины. Итак, дано

, (2.4.8)

Стоит вопрос

(2.4.9)

Для ответа на этот вопрос рассмотрим интегралы

(2.4.10)

(2.4.11)

В (2.4.10) мы последовательно работали с каждым оператором, в (2.4.11) мы работаем с , как с единым оператором. Естественно, что окончательные интегралы (2.4.10), (2.4.11) равны друг другу, что на операторном языке можно записать в виде

(2.4.12)

Переходя к комплексно сопряженному выражению, имеем

(2.4.13)

или окончательно

(2.4.14)

что позволяет в общем случае ответить на вопрос (2.4.9) отрицательно. Поэтому принимаем (2.4.14) как определение оператора, эрмитово сопряженного к .

Однако среди операторов встречаются такие пары операторов, что последовательное действие их на функцию приводит к одинаковому результату независимо от порядка действия операторов, т.е.

(2.4.15)

Про такие операторы говорят, что они коммутируют. Соотношение (2.4.15) можно записать иначе

(2.4.16)

Последнюю комбинацию операторов называют коммутатором. Когда операторы коммутируют, их коммутатор равен нулю. В таком частном случае вместо (2.4.14) можно утверждать

(2.4.17)

т.е. произведение двух эрмитовых операторов будет эрмитовым лишь в случае, когда эти операторы коммутируют.

Обобщение на три и большее число операторов очевидно:

(2.4.18)

В случае попарного коммутирования всех трех операторов имеем

(2.4.19)

Отметим для дальнейшего, что в случае двух некоммутирующих эрмитовых операторов из их произведений можно построить эрмитовы операторы. Это такие операторы

(2.4.20)

Для выяснения этого вопроса разберемся, что представляет собой операция транспонирования и эрмитового сопряжения, когда в качестве оператора выступает умножение на комплексное число. Очевидно, что если оператор является числом , то

(2.4.21)

так как функциональные и численные множители (не операторные в полном смысле этого слова) можно переставлять произвольным образом. Следовательно, число, транспонированное к исходному, совпадает с исходным

(2.4.22)

Для эрмитового сопряжения получаем

(2.4.23)

в частности, для мнимой единицы имеем

(2.4.24)

Эрмитово сопряжение комплексного числа совпадает с комплексным сопряжением.

Теперь убедимся в эрмитовости операторов (2.4.20).

(2.4.25)

что и требовалось доказать.