2.8. Условия, при которых две (или более) физические величины имеют одновременно определенные значения

Рассмотрим условия, при которых две физические величины имеют одновременно определенные значения. Для простоты ограничимся случаем без вырождения.

Пусть имеется две физические величины и соответствующие им эрмитовы операторы

(2.8.1)

Допустим, что есть состояния , в которых величины и определены. В соответствии с (2.5.11) волновые функции этих состояний должны быть собственными для операторов и , т.е.

(2.8.2)

Подействуем на первое из этих уравнений оператором , а на второе – оператором . В результате имеем

(2.8.3)

Вычитая левые и правые части равенств, получаем

(2.8.4)

Таким образом, из одновременной определенности двух физических величин с необходимостью вытекает коммутирование соответствующих им операторов.

Докажем обратную теорему.

Дано

(2.8.5)

Поставим задачу на собственные функции и собственные значения для одного из операторов, т.е. выберем состояния, в которых эта физическая величина определена

(2.8.6)

Подействуем на уравнение (2.8.6) оператором .

(2.8.7)

В силу (2.8.5) уравнение (2.8.7) можно переписать в виде

(2.8.8)

что от (2.8.6) отличается лишь переобозначением собственных функций (вместо функции ). Поскольку мы предположили, что вырождение отсутствует, задает физически то же состояние, что и функция , и может отличаться от последнего лишь постоянным множителем, который мы обозначим

(2.8.9)

Но это и есть уравнение на собственные функции для оператора , т.е. в состояниях физическая величина определена.

Теперь можно сформулировать следующую теорему, подытоживающую проведенное рассмотрение.

Для того чтобы две (или более) физические величины имели одновременно определенные значения, необходимо и достаточно, чтобы операторы этих величин попарно коммутировали.

Рассмотрим еще одну полезную теорему.

Если имеется две (или более) физические величины, операторы которых порознь коммутируют с оператором некоторой третьей физической величины, а между собой не коммутируют, то по третьей физической величине имеет место вырождение.

Итак, дано

(2.8.10)

(2.8.11)

В соответствии с условием , можно записать

(2.8.12)

Действуем на последнее уравнение оператором

(2.8.13)

которое, в силу выполнения условия коммутации , можно переписать в виде

(2.8.14)

Так как дает некоторое новое физическое состояние, которое естественно назвать , т.е.

(2.8.15)

Сравнивая уравнение (2.8.15) со вторым уравнением (2.8.12), видим, что собственному значению соответствует две различные собственные функции, т.е. собственное значение вырождено, что и требовалось доказать.

Подчеркнем, что коммутаторы (2.8.10) и (2.8.11) в условии теоремы заданы. Имея коммутаторы (2.8.10), вообще говоря, ничего нельзя сказать о коммутаторе (2.8.11), его необходимо вычислить отдельно.

В связи с только что доказанной теоремой отметим, что в рассмотренной ситуации оператор обладает более богатым набором собственных функций, нежели операторы и . Часть функций оператора являются собственными для оператора , другая часть функций оператора являются собственными для оператора , в то время как у операторов и нет общих собственных функций в соответствии с (2.8.11).