2.6. Свойства собственных функций операторов, имеющих дискретный спектр собственных значений (финитное движение)

Рассмотрим свойства собственных функций операторов, имеющих дискретный спектр значений. Ограничимся вначале случаем без вырождения.

1. Ортогональность собственных функций различных состояний. Состояния различаются значением физической величины . Запишем уравнение (2.5.15) и ему комплексно сопряженное для различных собственных значений, имея в виду их действительность

(2.6.1)

Здесь уместно вспомнить, что квантование физических величин связано с финитностью движения или, по крайней мере, с финитностью интервала изменения соответствующей степени свободы (например, сферические углы).

Домножим первое из уравнений (2.6.1) слева на волновую функцию и второе – на и, вычитая одно из другого, получим

(2.6.2)

Интегрируя по всему конфигурационному пространству и выполняя тождественные преобразования, имеем

(2.6.3)

так как . Нуль справа можно обеспечить двумя способами:

(2.6.4)

или

(2.6.5)

Поскольку при финитном движении возможна нормировка на единицу, вместо (2.6.4), (2.6.5) запишем единое соотношение ортонормировки

(2.6.6)

2. Полнота набора собственных функций оператора с дискретным спектром. Полноту набора собственных функций мы примем без доказательства (строгие доказательства по этому поводу можно найти в известных руководствах по математической физике). Свойство полноты набора утверждает, что любая функция , не принадлежащая набору и удовлетворяющая тем же граничным условиям, что и , может быть представлена в виде ряда по :

(2.6.7)

Домножим (2.6.7) на произвольную и интегрируя по всему конфигурационному пространству, приходим к определению коэффициентов разложения:

(2.6.8)

Итак,

. (2.6.9)

Функция описывает финитное движение и поэтому можно утверждать

(2.6.10)

(2.6.11)

Справа мы получим соотношение полноты (необходимое условие). Кроме того, (2.6.10), (2.6.11) еще раз указывает на прямую связь интегральных формулировок постулата о статистическом смысле волновой функции и принципа суперпозиции (соотношения заключенные в рамки).

Рассмотрим Фурье-разложение -функции, определенное в конфигурационном - пространстве:

(2.6.12)

Согласно (2.6.9)

(2.6.13)

и мы приходим к соотношению, называемому ортогональность 2

(2.6.14)

что совпадает с Фурье-разложением -функции в -пространстве.

Обобщим рассмотренные свойства на случай вырождения.

Опыт показывает, что в общем случае собственные функции, принадлежащие одному и тому же собственному значению, полученные в результате решения задачи (2.6.11), оказываются не ортогональными (ортогональность, правда, не исключена, например, в результате удачно выбранной системы координат). Но их всегда можно ортогонализировать. Начнем с простейшего случая двукратного вырождения

(2.6.15)

Поскольку в состояниях и физическая величина определена и имеет одно и тоже значение, то это же опреденное значение будет иметь и в состояниях, описываемых суперпозициями и . Поэтому вместо и перейдем к новой паре функций, соответствующих собственному значению :

(2.6.16)

Подбором параметра можно добиться ортогональности и , а с помощью константы нормировать на единицу. Итак, требуем

(2.6.17)

откуда

(2.6.18)

Аналогично, в случае трехкратного вырождения, когда

(2.6.19)

переходим к новым функциям

(2.6.20)

Неизвестные коэффициенты и определяются из условий ортогональности предыдущим функциям

(2.6.21)

а коэффициент используется для нормировки .

Обобщение на большую кратность вырождения очевидно. С настоящего момента впредь считаем, что в случае вырождения ортогонализация функций, принадлежащих одному и тому же собственному значению уже произведена.

Для рассмотренных выше свойств собственных функций операторов, обладающих дискретным спектром собственных значений, в случае вырождения теперь можем записать (без вывода):

1. Ортогональность.

(2.6.22)

Ортогональность по первому индексу в связи с тем, что разным значениям соответствуют разные собственные значения, а следовательно, ортогональные собственные функции; ортогональность по второму индексу связана с договоренностью о проведенной ортогонализации функций, принадлежащих одному и тому же собственному значению.

2. Полнота функций . Любая функция , не принадлежащая набору , может быть представлена в виде ряда по

(2.6.23)

3. Фурье-представление -функции имеет вид

(2.6.24)