2.5. Задача на собственные функции и собственные значения операторов физических величин

В соответствии с принципом суперпозиции в общем случае физическая величина описывается статистически, но не исключены конкретные случаи состояний квантовомеханических систем, в

Рис.2.2

которых та или иная физическая величина определена. Для выяснения, в каких конкретных состояниях физическая величина имеет определенное значение, рассмотрим задачу об отклонении физической величины от среднего значения.

Экспериментатор, измеряющий данную физическую величину, получает в течение времени те или иные значения этой величины, каким-то образом отклоняющиеся от среднего значения (рис.2.2). Нас интересует величина

(2.5.1)

По своему определению это есть физическая величина, так как есть то же , но отсчитываемое от , и ей может быть сопоставлен физический оператор. Учитывая, что

, (2.5.2)

и переходя к операторам от равенства (2.5.1), получаем определение оператора отклонения физической величины от ее среднего

(2.5.3)

, как и сама величина , в общем случае описывается статистически и поэтому естественно перейти к ее среднему значению

(2.5.4)

Однако такая характеристика, по определению среднего значения , тождественно равна нулю. Она не может быть принята в качестве объективной характеристики разброса конкретных значений возле среднего ее значения, ибо при любом разбросе (больших либо малых отклонениях)

(2.5.5)

Объективной характеристикой отклонения физической величины от ее среднего является среднеквадратичное отклонение (величина положительно определенная):

(2.5.6)

Проводя тождественные преобразования, получаем

(2.5.7)

Применим (2.5.7) к состояниям, в которых физическая величина имеет определенное значение. Итак, пусть определено. Тогда

(2.5.8)

На языке интеграла (2.5.2) это означает, что

(2.5.9)

что возможно лишь при выполнении условия

(2.5.10)

Вспоминая определение оператора и принимая во внимание, что в обсуждаемом состоянии , получаем уравнение для волновых функций состояний, в которых имеет определенные значения:

(2.5.11)

Уравнение такого вида в математической физике известны как уравнения на собственные функции и собственные значения оператора .

Итак, в качестве аппарата для получения волновых функций состояний, в которых физическая величина имеет определенное значение, выступает задача на собственные функции и собственные значения (2.5.11) соответствующего оператора физической величины. Функции задачи (2.5.11) являются собственными функциями оператора , а числа , при которых задача имеет нетривиальные решения (а именно таковые нас интересуют, согласно 1-й аксиоме), называются собственными значениями оператора .

Из математической физики известны следующие возможные варианты при решении задачи (2.5.11).

1. Задача (2.5.11) допускает нетривиальные решения лишь при некоторых (дискретных) значениях . В этом случае их можно пронумеровать , и задачу (2.5.11) перепишем в виде

(2.5.12)

Тогда принято говорить, что оператор обладает дискретным спектром собственных значений. В рамках этого случая возможны варианты: а) Каждому собственному значению соответствует одна и только одна функция

(2.5.13)

Тогда говорят, что нет вырождения. б) Тому или иному собственному значению соответствует две или более собственных функций

(2.5.14)

Тогда говорят, что по собственному значению имеет место вырождение. Количество собственных функций, соответствующих в этом случае собственному значению , называют кратностью вырождения. В (2.5.14), например, имеется -кратное вырождение.

2. Задача (2.5.11) допускает нетривиальные решения при любых значениях . В этом случае говорят, что оператор обладает непрерывным или сплошным спектром собственных значений. Возможны варианты с вырождением и без вырождения.

3. Задача (2.5.11) на определенном интервале изменения имеет нетривиальные решения лишь при дискретных, квантовых значениях , а на другом интервале – при любых . В таком случае говорят, что оператор обладает смешанным спектром собственных значений. Снова возможны варианты с вырождением и без вырождения.

Покажем теперь, что собственные значения эрмитовых операторов (действительных) всегда действительны. Для этого наряду с (2.5.11) рассмотрим комплексно сопряженное выражение

(2.5.15)

Домножая первое уравнение слева на и второе – на и вычитая одно из другого, имеем

(2.5.16)

Интегрируя (2.5.16) по всему конфигурационному пространству и выполняя тождественные преобразования, получаем

(2.5.17)

так как . Слева интеграл отличен от нуля и поэтому

, (2.5.18)

что и требовалось доказать.