12. Задача с неравенствами. Условие оптимальности второго порядка

Пусть дана задача: (1)

Определение. Пусть пара – условно-стационарная точка задачи (1). Тогда ое ограничение задачи активное на будем называть жёстким, если и мягким или нежёстким, если .

Обозначим , .

Ясно, что .

Теорема 4 (Необходимое условие оптимальности второго порядка). Пусть −обыкновенный локально-оптимальный план задачи (1), − соответствующий ему классический вектор Лагранжа. Тогда для любого вектора , удовлетворяющего системе

(9)

квадратичная форма .

Теорема 5 (Достаточное условие оптимальности второго порядка). Пусть – условно-стационарная точка задачи (1), то есть решение системы (7). Тогда, если для любого вектора , и удовлетворяющего системе (9) квадратичная форма , то – локально-оптимальный план задачи(1).

Доказательство. Пусть выполнятся условия теоремы. Пусть – компонента условно-стационарной точки, и для всякого допустимого направления квадратичная форма положительна. Предположим противное. Тем не менее, не является локально оптимальным планом. Это значит, для любой сколь угодно малой его окрестности найдутся планы лучшие, чем . Другими словами, существует последовательность такая, что , где при . Представим компоненты последовательности в виде , причём , при . Так представить нетрудно. Возьмём теперь вектор – предельный вектор последовательности . Этот вектор существует, поскольку лежат на единичной сфере, то есть на компакте.

Рассмотрим разложение. Для

(10)

(11)

Разделим выражения (10) и (11) справа на и устремим к бесконечности. Тогда и получим неравенства

(12)

(13)

Докажем, что наш вектор удовлетворяет системе (9), то есть является допустимым направлением. Из неравенства (12) следует, что неравенства из системы (9) на выполняются. Докажем, что выполняются и равенства из системы (9). Предположим противное, что найдётся такой номер , что следовательно, соотношения . Поскольку – условно-стационарная точка, то выполняется условие или можно записать так , так как =0, и =0, , то . Умножим это равенство скалярно на и сумму перенесём вправо, получим

.

Получили противоречие, следовательно, удовлетворяет всей системе (9).

Рассмотрим равенства (10), (11). Умножим равенство (10) на множитель Лагранжа , прибавим к (11) и добавим разложение , умноженное на =0. Если при этом сгруппировать множители при одинаковых степенях , то получим

.

Разделим полученное неравенство на и устремим

,

то есть . Это противоречит условиям теоремы.

Ч.т.д.

Теорема 4 и теорема 5 носят конструктивный характер. Их можно использовать для исключения точек, подозрительных на решение задачи (1), но не являющихся оптимальными. Для этого, как и в предыдущем параграфе, строятся некоторые задачи оптимизации (квадратичные).

Замечание. Если рассмотреть задачу , то для неё теорема 4 и теорема 5 справедливы без предположения обыкновенности .

Если рассмотреть задачу со смешанными ограничениями , то можно сформулировать принцип Лагранжа и условия оптимальности второго порядка простым совмещением результатов последних двух параграфов.