9. Задача с равенствами. Метод исключения.

(1)

Будем предполагать, что функции и имеют нужную гладкость.

3.2.1 Метод исключения

В некоторых случаях из системы ограничений задачи (1)

(2)

удается выразить (исключить) некоторые переменных через остальные . Не ограничивая общности, будем считать, что первые переменных выражены через последние (переменные можно просто перенумеровать), то есть система (2) эквивалентна системе

, (3)

где – некоторые функции, .

Система (3) называется уравнениями связи. Исключая с помощью (3), первые переменные из функции , приходим к задаче

, (4)

где .

Задачи (1) и (4) эквивалентны в том смысле, что если – оптимальный план задачи (1), то его последние компоненты – оптимальный план задачи (4), обратно, если – оптимальный план задачи (4), то вектор – оптимальный план задачи (1).

Задача (4) – задача на безусловный минимум.Метод исключения, описанный выше, значительно упрощает задачу. Его применяют и в тех случаях, когда лишь из части уравнений системы (2) можно выделить некоторые переменные через остальные. Тогда, исключая эти переменные из целевой функции и остальных ограничений (в которых не удается выразить переменные), мы снова приходим к задаче (1), эквивалентной исходной, но с меньшим числом переменных и с меньшим числом ограничений равенств (на количество исключенных переменных). В дальнейшем будем предполагать, что (1) не поддается упрощению.

10. Задача с равенствами. Обобщенное правило Лагранжа.

(1)

Будем предполагать, что функции и имеют нужную гладкость.

Функции Лагранжа. Теорема о неявных функциях

По параметрам задачи (1) составим две функции Лагранжа:

обобщенную и

классическую называют множитель Лагранжа функции. Для получения условия оптимальности будем использовать теорему о неявных функциях ( ).

Теорема (о неявных функциях). Пусть задана – мерная функция , причем она определена и непрерывно дифференцируема в окрестности точки . Пусть при этом выполняются условия:

1)

2) линейно независимы в . Тогда найдутся такие число и функция , что

а) ;

б) ;

в) .

Обобщённое правило множителей Лагранжа

Пусть дана задача: (1)

Теорема 1 (Обобщённое правило множителей Лагранжа). Если – локально-оптимальный план задачи (1), то необходимо найдётся такой обобщённый вектор Лагранжа , что

(5)

Доказательство. Распишем условие (5), получаем:

(5*)

Тогда требование теоремы означает на самом деле, что если – локально-оптимальный план, то вектора

(6)

являются линейно зависимыми.

Предположим противное. Требование теоремы не выполняются, несмотря на то, что – локально-оптимальный план, то есть вектора (6) линейно независимые. Рассмотрим тогда вектор-функцию переменных и в окрестности точки , . Ясно, что если подставить эту точку в вектор-функцию, то она примет нулевое значение. В силу линейной независимости векторов (6) в окрестности этой точки выполняются все условия о неявных функциях. Согласно теореме найдутся такие числа и функция , что будут выполняться условия:

1.

2.

Тогда условие означает, что является планами задачи. Поскольку , то при достаточно малых эти планы лежат в сколь угодно малой окрестности плана . Тогда из тождества или при малых отрицательных получаем .

Это неравенство означает, что в сколь угодно малой окрестности плана найдутся планы лучшие, чем . Это противоречит локальной оптимизации .

Ч.т.д.