12. Задача с равенствами. Лемма о включении

Пусть дана задача: (1)

и пусть – некоторый произвольный фиксированный план.

Определение. Вектор называется направлением допустимым по ограничениям задачи (1) на плане , если

(12)

На рисунке – касательная плоскость, – вектор нормали.

Определение. Вектор будет называться подходящим направлением для целевой функции задачи (1) на плане , если

(13)

Если удовлетворяет неравенству (13) и взять вектора , то при достаточно малой : .

Это легко получит из разложения функции в ряд.

Определение. Вектор называется направлением, подходящим для задачи (1) на плане , если он одновременно является и допустимым по ограничениям и подходящим для целевой функции.

Лемма о включении. Пусть – некоторый фиксированный план задачи (1), у которой , тогда если – обыкновенный план (удовлетворяющий (7)), тогда для любого вектора и допустимого по ограничениям на (удовлетворяющего (12)), найдутся такие число и функция такая, что:

1. – является планами задачи (1));

2. (при малой эти планы лежат в сколь угодно малой окрестности );

3. .

Геометрический смысл леммы о включении

Согласно лемме о включении, если на поверхности планов взять обыкновенный план , а в касательной плоскости выбрать некоторое направление, то найдётся такая гладкая линия , которая:

1. лежит на поверхности планов

2. проходит через план при =0

3. Касательный вектор к этой линии обязательно совпадает с выбранным вектором

12. Задача с равенствами. Необходимое условие оптимальности первого порядка

(1)

Будем предполагать, что функции и имеют нужную гладкость.

Теорема. Пусть – обыкновенный локально-оптимальный план, тогда на нём не найдётся направлений, подходящих к задаче (1), то есть для любого вектора такого, что (12) следует, что

(17)

Доказательство. Пусть – обыкновенный локально-оптимальный план. Предположим противное. Существует направление , подходящее для задачи на плане , то есть этот вектор будет удовлетворять (12) и .

По и , согласно лемме о включении найдутся такие планы , лежащие в окрестности точки , что .

Рассмотрим разложение

для некоторых малых , то есть получили неравенство . Это неравенство противоречит локальной оптимальности , то есть в любой малой окрестности точки найдутся планы лучшие, чем .

Ч.т.д.

12. Задача с равенствами. Другое доказательство принципа Лагранжа

Пусть дана задача: (1)

Пусть − локально оптимальный план этой задачи. Возможны следующие случаи:

1. − обыкновенный локально-оптимальный план, . В этом случае справедливо необходимое условие первого порядка. Применяя тогда к формулам (12), (17) теорему Фаркаша о неравенстве вследствие равенств, приходим к выводу, что найдутся такие числа , что . Перенося в этом равенстве все слагаемые влево и полагая , получим условие стационарности: .

А это означает, что в нашем случае справедливо классическое правило множителей Лагранжа. Единственность вектора следует из обыкновенности плана.

2. − обыкновенный локально-оптимальный план, , тогда вектора (7) образуют базис в и любой вектор можно разложить по этому базису. Разложим вектор . А это равенство снова приводит к условию стационарности, то есть и для второго случая справедливо классическое правило множителей Лагранжа.

3. − не является обыкновенным планом. Тогда вектора (7) зависимы и существует , не все равные нулю, что существует . Положим , и добавим нулевое слагаемое в последней сумме.

.

Это будет означать, что и существует . То есть в третьем случае справедливо обобщённое классическое правило множителей Лагранжа.

Принцип Лагранжа доказан, так как других случаев для быть не может.