12. Векторная оптимизация. Эффективные планы. Усреднение целевых функций.

Мы рассматривали случай скалярной оптимизации, то есть целевая функция – скалярная величина. Однако на практике распространена ситуация, когда на одном и том же множестве требуется найти экстремум сразу нескольких целевых функций. Например, в производственной задаче наряду с максимизацией прибыли требуется минимизировать себестоимость продукции, максимизировать рентабельность производства, минимизировать расход некоторого важного ресурса и т.д.

Следовательно, возникает задача

(1)

В задаче (1) требуется найти план, доставляющий минимум сразу целевым функциям. Однако в описанной постановке эта задача является неопределённой, некорректной в том смысле, что для неё нельзя ввести определение оптимального плана. Суть в том, что в отличие от скалярного случая, когда два плана можно сравнивать между собой по целевой функции (какой лучше, какой хуже), в векторном случае это сделать не всегда возможно.

Пусть =2 и даны два плана такие что

По первой целевой функции лучше план , а по второй – . А в целом эти планы не сравнимы в (1). Ситуация осложняется в том случае, когда целевые функции измеряются в различных масштабах, и в различных величинах (одна в килограммах, вторая в метрах, третья в рублях). Однако решить задачу каким-то образом нужно.

Определение. Скалярно-оптимальным планом задачи (1) по ой целевой функции называется решение задачи

(2)

и будем его обозначать .

Исключим из дальнейшего рассмотрения случай, когда , то есть когда каждая из целевых функций задачи (1) достигает минимум на одном плане (в одной точке).

Определение. Говорят, что план доминирует план задачи (1), если выполняется неравенство и существует хотя бы один номер .

То есть один план доминирует другой, если он не хуже другого по всем целевым функциям и строго лучше хотя бы по одной.

Определение. План называется эффективным или оптимальным по Парето, или не улучшаемым, если он не доминируется никаким другим планом задачи (1).

Множество всех эффективных планов обозначим . Ясно, какое определение не вкладывается в решение задачи (1), то есть в векторно-оптимальный план (его обозначают ), он должен находиться среди эффективных, то есть задача (1) эквивалентна задаче:

(3)

Но на практике множество является достаточно широким, трудно строится для конкретной задачи. Лишь для задач линейно – векторной оптимизации существует алгоритм построения множества .

Рассмотрим следующие примеры.

22. Принципы выбора

В пункте 1 мы пришли к выводу, что задача (1) некорректная, поэтому требуется некоторая дополнительная информация, которая позволила бы ввести определение решения задачи.

Определение. Дополнительную информацию задачи (1), которая позволяет определить понятие векторно-оптимального плана , называют принципом выбора. Обычно такая информация включает в себя набор из параметров либо процедур. Принцип выбора называется правильным, если при некотором наборе параметров векторно-оптимальный план является некоторой эффективной точкой и обратно: для каждого эффективного плана существует такой набор параметров, что он становится векторно-оптимальным планом задачи (1).

Наиболее распространенные принципы выбора