5. Дисконт и учетная ставка

Дисконтом называется скидка с цены товара, курса ценной бумаги и т.п. при различных сделках. В финансовой математике дисконт — это скидка со стоимости погашения долгового обязательства, например, векселя, при его продаже до срока погашения.

Пример.

Пусть владелец векселя на 100 тыс. руб. и сроком погашения 5 месяцев спустя два месяца с момента получения векселя, нуждаясь в наличных деньгах, продает его банку. Банк выкупает, или, как еще говорят, учитывает вексель, но не за полную стоимость 100 тыс. руб., а за 94 тыс. руб. Тогда дисконт — сумма, взимаемая банком за учет векселя до срока погашения, составляет

100 – 94 = 6 тыс. руб.,

или 6% от стоимости векселя. В этом случае говорят, что учетная ставка банка за 3 месяца (т.е. до срока, оставшегося до погашения) составляет 6%. В общем случае учетной ставкой за период называется отношение разницы между полной и выкупной суммой векселя, т.е. дисконта, к его полной сумме:

где S - сумма долга при погашении,

Р - выкупная (учетная) стоимость,

D - величина дисконта.

С вязь между указанными величинами можно изобразить диаграммой

Ясно, что величина дисконта, учетная ставка и выкупная цена за период оставшийся до погашения, зависят от длительности этого периода. Поэтому формулу (1.8) следовало бы переписать более строго в виде

Из этой формулы следует, что дисконт и выкупная стоимость выражается формулами

Банки обычно указывают учетную ставку за некоторый фиксированный период, как правило, год, и эта учетная ставка называется годовой учетной ставкой. Ставка же за период вычисляется так же, как вычисляется процентная ставка за период по годовой ставке, т.е. по формуле

(1)

где d — годовая учетная ставка,

t — остаток срока до погашения в годах.

Таким образом, предыдущие формулы примут вид

(2)

Учетная ставка, описываемая формулами (1, 2), называется простым и банковским дисконтом. Величина называется дисконтным множителем за период t по учетной ставке d.

Пример.

Найти годовую учетную ставку и выкупную стоимость векселя за месяц до погашения для примера в начале пункта.

Решение.

Поскольку в том примере учетная ставка за три месяца до погашения составляет 6%, то годовая ставка согласно формуле (1) равна

Здесь t = 3 месяца, или ¼ года. Учетная стоимость векселя за месяц до погашения составит

Пример.

Пусть вексель выписан 10 января 1993 года с датой погашения 10 октября 1993 года. Проценты по векселю начисляются исходя из 12% в год. Если вексель учтен в банке 10 мая 1993 года по учетной ставке 10%, то какова учетная (выкупная) стоимость векселя?

Решение.

Для подсчета длин периодов будем пользоваться банковским правилом. Точное число дней между 10 января и 10 октября 1993 года согласно таблице равно

283 — 10 = 273 дня.

Длительность периода погашения в годах при банковском правиле

Тогда полная сумма векселя при погашении равна

Если вексель учитывается 10 мая, то оставшийся срок до погашения составляет

283 - 130 = 153 дня,

или

При учетной ставке d = 10% годовых учетная стоимость векселя составит