6. Эквивалентность учетной и процентной ставки

На дисконт можно посмотреть несколько иначе, чем было приведено выше. Для банка, учитывающего вексель на сумму S, учетная стоимость векселя является текущей стоимостью суммы S, которую банк получит (взыщет) с векселедержателя в момент погашения, т.е. через срок t, оставшийся до погашения векселя. В отличие от обычной ситуации, когда инвестируется известная сумма, на которую с течением времени начисляются проценты, при учете заранее известна конечная (наращенная) сумма, а ее текущая стоимость находится исходя из учетной ставки и срока, оставшегося до погашения. Поэтому дисконт и ставка дисконта являются такими же параметрами кредитной сделки, как процент и процентная ставка, но различаются лишь "направлением" схемы расчета. При вычислении процента и процентной ставки базовой величиной является начальная (текущая, исходная) стоимость, а при вычислении дисконта и учетной ставки базовой величиной является конечная сумма. Оформим сказанное выше в виде равенств.

Р ассмотрим диаграмму

Проценты за период

составляют

а процентная ставка за этот период равна

С другой стороны, дисконт за этот период составляет

а учетная ставка за период

Таким образом, процентная и учетная ставки связывают две суммы, относящиеся к началу (Р) и концу (5) произвольного периода t, т.е.

Из этих соотношений немедленно следует, что

или

откуда получаем формулы, связывающие i_t и d_t:

(3)

и

(4)

Если i_t и d_t — простые ставки (процентная и учетная), соответствующие годовым ставкам (процентной и учетной) i и d, т.е.

то для периода в один год (t = 1) получаем соотношения

, (5)

Эти соотношения позволяют дать еще одну интерпретацию дисконту. Пусть единичная сумма инвестируется в начале года под проценты со ставкой i. Тогда в конце года проценты на эту сумму составят i, а текущее значение этой величины будет равно

.

Соотношение (5) дает по существу то же самое:

Иными словами, на дисконт можно смотреть как на проценты, но уплачиваемые не в конце года (периода), а в начале, поэтому иногда (это бывает редко) дисконтную ставку называют авансированной процентной ставкой.

Нужно отчетливо понимать различие между процентной и учетной ставками. Они описывают кредитную операцию с двух различных сторон. Различие между ними состоит в выборе временной базы, т.е. момента времени, относительно которого вычисляется эффект кредитной операции. Для процентной ставки это начало периода сделки, а для учетной - конец периода сделки. Формулы (3 - 4) позволяют найти для любой из этих величин другую для одного и того же периода.

Часто говорят, что эти формулы задают условия эквивалентности учетной и процентной ставки относительно заданного периода времени. Формула

дает еще один способ вычисления текущего значения исходя из учетной ставки. Если i - соответствующая (эквивалентная) для периода t процентная ставка, то вычисление по формуле

дает тот же результат, т.к. эквивалентность i и d означает, что

Пример.

Найти текущую стоимость $100, получаемых через год:

а) при процентной ставке 12,5%; b) при учетной ставке 12,5%.

Решение:

а) Для процентной ставки 12,5% имеем S = 100$, i = 0,125, t = 1 год, и, следовательно,

b) Для учетной ставки 12,5% имеем S = 100$, d = 0,125, t = 1 год, и следовательно,

ЗАМЕЧАНИЕ

Очень важно помнить, что о соответствии (эквивалентности) процентной и учетной ставок можно говорить, лишь указав период (срок), относительно которого утверждается эквивалентность. Ставки, эквивалентные относительно одного периода, не будут эквивалентны и относительно другого. Это касается как ставок за период, так и годовых ставок.

Пример.

Пусть простая годовая процентная ставка равна 15%. Найти эквивалентные годовые учетные ставки для периодов:

а) один месяц; b) полгода.

Решение.

а) В этом случае

Если d — соответствующая годовая учетная ставка, то из уравнения эквивалентности

получаем, что

b) Здесь и

В заключение приведем графики зависимостей d = d(i) и i = i(d) для годового периода