Методи виявлення гетероскедастичності. (Декілька питань по різних тестах)
Перевірити модель на наявність гетероскедастичності можна з допомогою графічних та аналітичних методів. Серед аналітичних методів найбільш поширеними є такі тести:
- рангової кореляції Спірмена;
- Гольтфельда-Кванта;
- Глейзера;
- Уайта.
Тест рангової кореляції Спірмена передбачає найбільш загальні припущення про залежність дисперсій помилок регресії від значень незалежної змінної:
,
.
(3.10)
При цьому ніяких
додаткових припущень відносно виду
функцій
не робиться. Відмітимо також, що відсутнє
обмеження стосовно закону розподілу
помилок.
Ідея тесту полягає
в тому, що абсолютні величини залишків
регресії
розглядаються як оцінки
,
тому при наявності гетероскедастичності
і значення
будуть корелювати. Проте кореляція в
цьому випадку передбачається ранговою.
Рангова кореляція
досліджується тоді, коли необхідно
встановити силу зв’язку між ординальними
(порядковими) змінними. Прикладами
ординальних змінних є житлові умови,
тестові бали, екзаменаційні оцінки.
Джерелом ординальних змінних можуть
бути і кількісні змінні, для яких
здійснюється процес ранжування.
Наприклад, кожну з двох множин чисел
,
можна ранжувати в порядку зростання. В
результаті
-тий
об’єкт характеризується двома рангами
та
по змінних
та
.
Тоді коефіцієнт рангової кореляції
Спірмена знаходиться за формулою
.
(3.11)
Якщо ранги всіх
об’єктів рівні між собою, тобто
,
то
.
Цей випадок називається повним прямим
зв’язком. При повному оберненому
зв’язку, коли ранги об’єктів по обох
змінних розташовані в оберненому
порядку, можна довести, що
.
У решті випадків
.
При перевірці
значущості
виходять із того, що у випадку правильності
нульової гіпотези (про відсутність
кореляційного зв’язку між змінними)
при
статистика
(3.12)
має
-розподіл
Ст’юдента із
ступенями вільності. Тому
значущий на рівні
,
якщо
.
(3.13
Тест Голдфелда-Квандта
використовується у тому випадку, коли
помилки регресії
можна вважати нормально розподіленими
випадковими величинами. При цьому
спостережень має бути хоча б удвічі
більше, ніж число оцінюваних параметрів.
Як правило, тест застосовується до
великих вибірок.
Припустимо, що
середні квадратичні відхилення збурень
пропорційні значенням пояснюючої
змінної
.
Це означає постійність відносного,
а не абсолютного, як у класичній
моделі, розкладу збурень регресійної
моделі.
Впорядкуємо
спостережень в порядку зростання значень
і виберемо
перших і
останніх спостережень (число
визначимо пізніше). Тоді гіпотеза про
гомоскедастичність буде рівносильна
тому, що значення
та
є вибірковими спостереженнями нормально
розподілених випадкових величин, які
мають однакові дисперсії.
Зауваження.
Для знаходження
для двох груп (
та
)
необхідно попередньо знайти два емпіричні
рівняння для кожної з груп.
Гіпотеза про рівність дисперсій двох нормально розподілених сукупностей, як відомо [4], перевіряється з допомогою критерія Фішера-Снедокора. Нульова гіпотеза про рівність дисперсій двох сукупностей по спостережень (тобто гіпотеза про відсутність гетероскедастичності) відкидається на рівні , якщо
.
(3.14)
Відмітимо, що
чисельник і знаменник в (3.14) слід було
розділити на відповідне число ступенів
вільності, проте в даному випадку ці
числа однакові і рівні
.
Виявляється, що
коли вибрати
порядку
,
тоді потужність тесту, тобто
імовірність відкинути гіпотезу про
відсутність гетероскедастичності, коли
насправді гетероскедастичності немає,
буде максимальною.
Тест рангової кореляції Спірмена і тест Голдфелда-Квандта дозволяють лише виявити наявність гетероскедастичності, але вони не дають можливості з’ясувати кількісний характер залежності дисперсій помилок регресії від значень незалежної змінної, і, отже, не дають методів усунення гетероскедастичності.
Для досягнення цієї мети необхідні деякі додаткові припущення стосовно характеру гетероскедастичності. Справді, без цих припущень, очевидно, неможливо було б оцінити дисперсій помилок регресії ( ) з допомогою спостережень.
Найбільш простий і часто використовуваний тест на гетероскедастичність – тест Уайта. При його використанні припускається, що дисперсії помилок регресії є однією і тією ж функцією від спостережених значень незалежної змінної, тобто рівняння (3.10) набирають такого виду:
,
.
(3.15)
Найчастіше функція
обирається квадратичною:
,
(3.16)
що відповідає
тому, що
залежить від
приблизно лінійно. У випадку
гомоскедастичності
,
тобто вибіркові коефіцієнти регресії
,
,
які є оцінками невідомих чисел
,
відповідно, незначуще відрізняються
від нуля.
Ідея тесту Уайта полягає в оцінці функції з (3.15) за допомогою відповідного рівняння регресії для квадратів залишків:
,
,
(3.17)
де
випадкова величина (за аналогією з
із рівняння (2.3)).
Відмітимо, що ліві
частини рівнянь (3.15) та (3.17) співпадають,
оскільки
(див. 2.21)).
Гіпотеза про відсутність гетероскедастичності (умова ) приймається у випадку незначущості регресії (3.17) в цілому (тобто одночасної незначущості теоретичних коефіцієнтів регресії та ).
Якщо обрати функцію
у вигляді (3.16), тоді знаходити «вручну»
оцінки
,
,
,
а також їх середні квадратичні відхилення
– достатньо працемісткий процес.
Оптимальний шлях – використання
персонального комп’ютера із відповідним
програмним забезпеченням.
Тест Глейзера аналогічний тесту Уайта, тільки в якості залежної змінної для вивчення гетероскедастичності вибирається не квадрат залишків, а їх абсолютна величина, тобто розглядається регресія
,
.
(3.18)
В якості функції зазвичай обирається функція виду
,
(3.19)
Регресія (3.18)
вивчається при різних значеннях
,
а потім вибирається те конкретне
значення, при якому коефіцієнт
виявляється найбільш значущим, тобто
має найбільше значення
-статистики.
При цьому в якості значень
беруться числа: 1, 2, 3, 1/2, 1/3 тощо. Якщо ж
незначущий для всіх розглянутих значень
(випадок
),
тоді робиться висновок про відсутність
гетероскедастичності.