18. Лінійна багатофакторна економетрична модель. Мнк для багатофакторної економетричної моделі

Узагальнена багатофакторна регресійна лінійна модель має вигляд: y = β₀ + β₁x₁ +...+β_рх_р+ u, де y- результативна змінна; х₁, х₂, ..., х_р - факторні змінні; u – стохастична складова, яка вводиться до моделі з метою урахувати наявність впливу факторів, які не входять до моделі, β₀ , β₁ ,..., β_р – параметри моделі, а вибіркова регресійна модель - = b₀ + b₁x₁+...+b_рх_р, де b₀, b₁,..., b_р – оцінки параметрів моделі. Щоб мати явний вигляд залежності, необхі­дно знайти (оцінити) невідомі параметри b₀, b₁,..., b_р цієї моделі.

Лінійною регресійною моделлю називається модель, лінійна за своїми параметрами.

Багатофакторна лінійна регресійна модель є уза­гальненням простої лінійної регресійної моделі, тому всі основні класичні припущення для неї зберігають­ся, але дещо модифікуються.

Припущення 1. Математичне сподівання випадкової величини дорівнює 0. Припущення 2 Випадкові величини незалежні одна від одної, тобто відсутня серійна кореляція: Припущення 3. Модель гомоскедастична. Припущення 4. Коваріація між випадковою величиною u та кож­ною незалежною змінною х дорівнює 0. Відзначимо, що властивість 4 виконується автоматично, якщо х_і (і = 1, р) не стохастичні та припу­щення 1 має силу. Припущення 5. Модель повинна бути правильно специфікованою. Припущення 6. Випадкова величина u підпорядковується нормаль­ному закону розподілу з нульовим математичним сподіванням і постійною дисперсією. Припущення 7. Відсутність мультиколінеарності між факторами х, тобто фактори повинні бути незалежними один від одного. Не повинно бути точного лінійного зв’язку між двома або більше факторами.

Припущення 7 для простої лінійної регресії від­сутнє, але надзвичайно важливе для багатофакторної регресії.

Якщо всі припущення класичної лінійної регресій­ної моделі виконуються, то МНК-оцінки є не тільки лінійними без відхилень оцінками, але мають ще най­меншу дисперсію, тобто є BLUE -оцінками.

Нехай ми маємо ряд спостережень за залежною змінною у = {у1, у2, ... , уп} та за незалежними змінними або факторами: хk ={ хkі, хkі, ... , хkі},

Виходячи з цих спостережень, побудуємо лінійну вибіркову багатофакторну модель, яку при збереженні позначень, введених для простої лінійної регресії, можна записати у вигляді:

y = β0 + β1x1 +...+βрхр+ u, де y- результативна змінна; х1, х2, ..., хр - факторні змінні; u – стохастична складова, яка вводиться до моделі з метою урахувати наявність впливу факторів, які не входять до моделі, β0 , β1 ,..., βр –параметри моделі, а вибіркова регресійна модель -= b0 + b1x1+...+bрхр, де b0, b1,..., bр – оцінки параметрів моделі.

Як і у випадку простої лінійної регресії, знайдемо невідомі параметри за методом найменших квадратів, тобто мінімізуючи суму квадратів відхилень.

Для того, щоб знайти мінімум даної суми, необхідно прирівняти до нуля часткові похідні. Ми отримаємо систему нормальних рівнянь. Зважаючи на досить громіздкий вигляд системи нормальних рівнянь у загальному випадку, ми не будемо її наводити. Відмітимо, що перетин (параметр β0) розраховується аналогічно до простої регресії за допомогою середніх значень. Система рівнянь: