31. Узагальнений мнк.

Система рівнянь для оцінки параметрів моделі на основі методу Ейткена запишеться так: або ‑ вектор оцінок параметрів економ-ої моделі; ‑ матриця не залеж змінних; ‑ матриця, транспон-а до матриці X; ‑ матриця, обернена до матриці кореляції залишків; ‑ матриця, обернена до матриці V, де , а - залишкова дисперсія; Y ‑ вектор залеж змінних. Звідси або Отже, щоб оцінити параметри моделі на основі методу Ейткена, треба сформ-и матрицю S або V. Матриця S має вигляд:

Параметр ρ наближено можна визначити на основі залишків вибіркової моделі, оціненої за звичайним 1МНК.

31. Природа автокореляції та її вплив в економетричних моделях.

Одним з основних припущень класичного лінійного регресійного аналізу є припущення про відсутність взаємозв’язку між значеннями стохастичної складової моделі ε у різних спостереженнях, тобто припущення

. ( 1 )

Якщо це припущення порушується виникає явище, яке носить назву автокореляції залишків.

aОзначення 1. Автокореляцією залишків називається залежність між послідовними значеннями стохастичної складової моделі .

У випадку автокореляції залишків маємо :

, ( 2 )

і ,як у випадку гетероскедастичності, формально можна записати :

, ( 3 )

де - деяка невідома константа, S – відома квадратна, додатньо визначена матриця розмірністю n×n.

У загальному випадку залежність між значеннями стохастичної складової ε у різних спостереженнях для випадку автокореляції можна подати наступним чином :

, ( 4 )

де : ρ₁, ρ₂, ... ,ρ_s – коефіцієнти автокореляції 1,2 і s-го порядку відповідно ; u_i – випадкова величина, яка відповідає усім припущенням класичного лінійного регресійного аналізу – тобто вона розподілена за нормальним законом із сталою дисперсією і має нульове математичне сподівання.

Найпростішим і найбільш поширеним випадком автокореляції залишків є випадок ,коли залежність між послідовними значеннями стохастичної складової описується так званою авторегресійною схемою першого порядку – AR(1) яка має наступний вигляд :

. ( 5 )

Якщо ρ додатне ( ρ>0 ), то автокореляція залишків є позитивною, якщо ρ від’ємне ( ρ<0 ), то автокореляція залишків є негативною. При ρ=0 автокореляція залишків відсутня.

Автокореляція залишків найчастіше спостерігається у наступних двох випадках :

1. коли економетрична модель будується на основі часових рядів (у цьому випадку, якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то буде спостерігатися і кореляція між послідовними значеннями стохастичними складової ε, особливо ,якщо використовуються лагові змінні ) ;

2. коли допущена помилка специфікації економетричної моделі – до моделі не включена істотна пояснююча змінна.

Негативними наслідками автокориляції буде :

1. завищені значення дисперсії параметрів моделі ;

2. помилки при використанні t – тестів і F – тестів ;

3. неефективність прогнозів, тобто отримання прогнозів з дуже великою дисперсією.

34. Методи знаходження оцінок в умовах автокореляції.

Для оцінювання параметрів економетричних моделей з автокорельованими залишками в основному використовуються наступні методи:

1. метод Ейткена (УМНК) ;

2. метод перетворення вихідної інформації ;

3. метод Кочрена – Оркатта ;

4. метод Дарбіна .

Метод Ейткена (УМНК) Система рівнянь для оцінки параметрів моделі на основі методу Ейткена запишеться так: або ‑ вектор оцінок параметрів економ-ої моделі; ‑ матриця не залеж змінних; ‑ матриця, транспон-а до матриці X; ‑ матриця, обернена до матриці кореляції залишків; ‑ матриця, обернена до матриці V, де , а - залишкова дисперсія; Y ‑ вектор залеж змінних. Звідси або Отже, щоб оцінити параметри моделі на основі методу Ейткена, треба сформ-и матрицю S або V. Матриця S має вигляд:

У цій симетричній матриці виражає коефіцієнт автокореляції s-го порядку для залишків . Очевидно, що коефіцієнт автокореляції нульового порядку дорівнює 1.

Оскільки коваріація залишків при s > 2 часто наближається до нуля, то матриця, обернена до матриці S, матиме такий вигляд:

(8.22)

Таку матрицю іноді пропонується використовувати при оцінюванні параметрів моделі з автокорельованими залишками за методом Ейткена.

Покажемо, як використовується циклічний коефіцієнт кореляції для обчислення r.

,

або

де u_t — величина залишків у період t; u_t–1 — величина залишків у період t – 1; n — число спостережень.

Якщо , то .

Зауважимо, що параметр r (або ) має зміщення. Тому, використовуючи такий параметр для формування матриці S, необхідно скоригувати його на величину зміщення

де — величина зміщення (m — кількість незалежних змінних), або

Матриця , де — залишкова дисперсія, що визначається за формулою

де — вектор, транспонований до вектора залишків u; n – m – 1 — число ступенів свободи.

Дисперсія залишків з урахуванням зміщення обчислюється так:

Величину l можна обчислити методом 1МНК з допомогою авторегресійного рівняння x_t = l x_t–1 + e_t. У такому разі

,

де x_t взято як відхилення від свого середнього значення.

При реалізації алгоритму Ейткена для оцінки параметрів моделі застосовують такі п’ять кроків.

Крок 1. Оцінка параметрів моделі за методом 1МНК.

Крок 2. Дослідження залишків на наявність автокореляції.

Крок 3. Формування матриці коваріації залишків V або S.

Крок 4. Обернення матриці V або S.

Крок 5. Оцінка параметрів методом Ейткена, тобто згідно з (8.18), (8.19).

Метод перетворення вихідної інформації. Випадок, коли залишки задовольняють авторегресійну модель першого порядку, допускає альтернативний підхід до пошуку оцінок параметрів моделі за допомогою двокрокової процедури:

1) перетворення вихідної інформації при застосуванні для цього параметра r;

2) застосування 1МНК для оцінки параметрів на основі перетворених даних.

Для цього треба знайти матрицю перетворення T, щоб модель

(8.23)

мала скалярну дисперсійну матрицю

Розглянемо матрицю T₁ розміром n ´ n:

(8.24)

Безпосереднім множенням легко переконатись, що

А це означає, що можна застосувати 1МНК до перетворених даних і , які мають вигляд

Іноді для перетворення вихідної інформації використовується матриця розміром (n – 1) ´ n, яка отримується з матриці внаслідок викреслювання першого рядка:

Неважко показати, що застосування 1МНК до даних і дає таку саму оцінку параметрів моделі, як і метод Ейткена, а для даних і — забезпечує порівняно добру апроксимацію.

Метод Кочрена – Оркатта. Розглянемо алгоритм:

Крок 1. Приймається гіпотеза і мінімізується на основі 1МНК сума квадратів: . Отже, так само й далі обчислюються параметри для моделі (8.25).

Крок 2. Знаходяться залишки і на основі критерію Дарбіна — Уотсона перевіряється нульова гіпотеза відносно автокореляції залишків. Якщо гіпотеза відхиляється, то переходять до кроку 3.

Крок 3. На даному кроці мінімізується сума квадратів відхилень:

де і — оцінки параметрів, знайдені на першому кроці 1МНК. У результаті параметр визначається як коефіцієнт регресії залишків, знайдених 1МНК, на їх лагові змінні, які стосуються минулого періоду.

Крок 4. Використовуючи значення оцінки параметра , визначають оцінки параметрів і на основі 1МНК, який застосовується до перетворених даних і .

Крок 5. Визначаються залишки і перевіряються на наявність автокореляції. Якщо гіпотеза про наявність автокореляції відхиляється, то ітератив­ний процес припиняється. У противному разі переходимо до кроку 3, де використовуються знайдені оцінки параметрів і .

Коли ітеративний процес припиняється, то виконується перевірка значущості параметрів з допомогою останньої економетричної моделі. У такому разі звичайні формули дадуть обгрунтовані оцінки дисперсій залишків.

Метод Дарбіна . Алгоритм:

Крок 1. Підставимо значення залишків, яке підпорядковане авторегресійній моделі першого порядку до економетричної моделі . Тоді дістанемо , де .

Звідси

де має скалярну матрицю дисперсій.

Згідно з 1МНК визначаються параметри цієї моделі, куди входить і коефіцієнт . У результаті обчислень маємо .

Крок 2. Значення використовується для перетворення змінних і , а 1МНК застосовується до перетворених даних. Коефіцієнт при є оцінкою параметра , а вільний член, поділений на , оцінює параметр .