9.Коефіцієнт детермінації та коефіцієнт кореляції.

Найпростішим критерієм, який дає кількісну оцінку зв’язку між двома показниками є коефіцієнт кореляції (для прямолінійного зв’язку).

Коефіцієнт кореляції r = ryх дає можливість кількісно оцінити щільність зв’язку між y та x . Він розраховується за формулою:

або

де cov(x, y) - коефіцієнт коваріації між x та y , var(x) - дисперсія змінної x , var(y) - дисперсія змінної y ; σ_х – середнє квадратичне відхилення ознаки х; σ_у – середнє квадратичне відхилення ознаки у.

Коефіцієнт кореляції є відносною мірою зв’язку між двома факторами. Значення його лежать в межах від -1 до 1 (-1<= r< =1). Додатне значення коефіцієнта кореляції свідчить про про існування прямого зв’язку між змінними, від’ємне - про зворотній зв’язок. Якщо коефіцієнт кореляції прямує за абсолютною величиною до 1, то між змінними x та y існує сильний зв’язок; а якщо коефіцієнт кореляції прямує до 0 - то між змінними x та y лінійного зв’язку немає.

Коефіцієнтом детермінації називається частина дисперсії, яку можна пояснити через регресійний зв’язок.

Коефіцієнт детермінації позначається R². Він визначається за формулою

R² = / =

Ця величина не залежить від одиниць вимірювання у і коефіцієнт детермінації завжди додатній і знаходиться в межах 0<=R<=1.Коефіцієнт детермінації використовується при визначенні адекватності моделі і також вимірює щільність зв’язку між показниками.

10. Основні припущення при використанні мнк.

У разі узагальненої економетричної моделі y = α + βx + u

випадкова величина u є неспостережуваною величиною, і тому можна зробити лише деякі припущення щодо її поведінки та закону розподілу.

Припущення 1.

Математичне сподівання випадкової величини u для всіх спостережень дорівнює нулю: M (ui) = 0 , i =1,n .

Припущення 2. Дисперсія випадкової величини є однакова для всіх спостережень (властивість гомоскедастичності):

M (ui²) = var(ui) = σ² .

Припущення 3. Випадкові величини незалежні між собою (значення випадкового члена u в і-му спостереженні не залежить від того, які значення він приймав в j -му спостереженні: M (uiuj) = 0, і не = j або cov(ui,uj) = 0, і не = j.

Припущення 4. Випадкова змінна розподілена незалежно від змінної x : M (xiui) = 0 або cov (xiui) = 0.

Припущення 5. Випадкова змінна u розподілена по нормальному закону з нульовим математичним сподіванням і постійною дисперсією.

Якщо випадковий доданок нормально розподілений, то так будуть розподілені і коефіцієнти регресії a і b .

11. Незміщеність і ефективність оцінок мнк.

Перш ніж доводити, що оцінки aˆ і bˆ є незміщені, покажемо, що вони лінійно залежать від вибіркових значень yi .

Лінійна залежність від вибіркових значень yi показана. Для доведення незміщеності знайдемо математичне сподівання оцінки bˆ :

Так як математичне сподівання оцінки bˆ дорівнює оцінюваному параметру b , то bˆ є незміщеною оцінкою.

Знайдемо математичне сподівання оцінки aˆ проробивши перед тим наступні перетворення:

Отже, aˆ і bˆ є незміщеними оцінками.

Якщо оцінка незміщена, то при багаторазовому повторенні випадкової вибірки, навіть якщо для окремих вибірок, можливо, були помилки оцінки (помилка дорівнює b - bˆ є випадковою величиною), середнє значення цих помилок дорівнює нулю. Різниця між математичним сподіванням оцінки та кількісним значенням оціненого параметра M(bˆ) - b називається зміщенням оцінки. Зміщення є сталою величиною.

Знайдемо дисперсії оцінок.

Можна довести, що дисперсії є найменшими величинами в класі незміщених оцінок, тобто оцінки є ефективними.